Definizione di angolo in geometria e algebra lineare
Salve a tutti,
leggevo con molta curiosità le seguenti pagine:
da quello che mi è sembrato di capire (non essendo matematico), posso definire (con molta semplicità e per quelli che sono gli scopi della geometria e dell'algebra lineare) un angolo come un qualsiasi \( a \in \mathbb{R} \) tale che \( a \in [0,\pi] \)? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
P.S.=Non so perchè ma avrei detto che \( a \in \mathbb{R} \) è angolo se \( a \in \{a+2k\pi|k \in \mathbb{Z}\}\), è corretto anche così? Ringrazio ancora anticipatamente!
leggevo con molta curiosità le seguenti pagine:
da quello che mi è sembrato di capire (non essendo matematico), posso definire (con molta semplicità e per quelli che sono gli scopi della geometria e dell'algebra lineare) un angolo come un qualsiasi \( a \in \mathbb{R} \) tale che \( a \in [0,\pi] \)? Ringrazio anticipatamente!
Saluti
P.S.=Non so perchè ma avrei detto che \( a \in \mathbb{R} \) è angolo se \( a \in \{a+2k\pi|k \in \mathbb{Z}\}\), è corretto anche così? Ringrazio ancora anticipatamente!
Risposte
E \(1.5\pi \) non rappresenta l'ampiezza di un angolo? Non conosco la definizione rigorosa ma ad intuito, angolo è una cosa mentre il numero che associo per descriverne l'ampiezza è un'altra.
@4mrkv,
mm non saprei risponderti, ho dei dubbi su quanto detto da me stesso...
però da quello che mi sembra di capire leggendo quelle pagine che il Sernesi cerca di definire l'angolo senza alcuna considerazione sulla geometria elementare..!!
Saluti
P.S.=Se lavoro con le classi di equivalenza date dalla relazione di congruenza finisco col dire che un angolo è una classe di equivalenza, ma ad ogni numero reale posso associare la sua classe di equivalenza (unica) alla quale il numero reale appartiene.. quindi volevo/cercavo una def. di angolo immediata senza alcuna costruzione tramite relazione di equivalenza (visto anche che alla fine associo ad ogni reale un angolo)... spero di non aver detto cavolate! Ho letto in alcuni appunti anche che l'angolo è un numero dell'intervallo \( [0, \pi] \), ora così facendo l'angolo in realtà è angolo convesso
Grazie della risposta cmq! Saluti
"4mrkv":
E \(1.5\pi \) non rappresenta l'ampiezza di un angolo? Non conosco la definizione rigorosa ma ad intuito, angolo è una cosa mentre il numero che associo per descriverne l'ampiezza è un'altra.
mm non saprei risponderti, ho dei dubbi su quanto detto da me stesso...
però da quello che mi sembra di capire leggendo quelle pagine che il Sernesi cerca di definire l'angolo senza alcuna considerazione sulla geometria elementare..!!Saluti
P.S.=Se lavoro con le classi di equivalenza date dalla relazione di congruenza finisco col dire che un angolo è una classe di equivalenza, ma ad ogni numero reale posso associare la sua classe di equivalenza (unica) alla quale il numero reale appartiene.. quindi volevo/cercavo una def. di angolo immediata senza alcuna costruzione tramite relazione di equivalenza (visto anche che alla fine associo ad ogni reale un angolo)... spero di non aver detto cavolate! Ho letto in alcuni appunti anche che l'angolo è un numero dell'intervallo \( [0, \pi] \), ora così facendo l'angolo in realtà è angolo convesso
Grazie della risposta cmq! Saluti
Nell'edizione di quel testo che possiedo, nelle pagine immediatamente successive a quelle viene data anche la definizione di angolo orientato, dacci un occhio.
"garnak.olegovitc":
Non so perchè ma avrei detto che \( a \in \mathbb{R} \) è angolo se \( a \in \{a+2k\pi|k \in \mathbb{Z}\}\), è corretto anche così? Ringrazio ancora anticipatamente!
Come fa notare Ricardo, questa è la definizione data dal Sernesi per angolo orientato o angolo tout court a p. 238 dell'edizione del 2000, la pagina dopo quelle che hai postato.
Sempre in tema, per comprendere le sezioni immediatamente successive del Sernesi, specialmente quando parla di isometria di piani e spazi tridimensionali, a me è stata di fondamentale utilità questa risposta di cui approfitto per ri-ringraziare ciampax.
(Ri)Salve a tutti,
ringrazio intanto per le risposte, cmq vorrei seguire il testo senza alcun volo pindarico per il momento... e ho capito che è meglio se faccio proprio come il Sernesi, ed ovvero
"prendo \( a,b \in \mathbb{R} \), dico che \( a \equiv b (mod. 2\pi) \) se \( a-b=2\pi \), una relazione binaria \( \mathscr{T} \) in \( \mathbb{R} \) di questo tipo è di equivalenza; detto questo allora dato \( c \in \mathbb{R} \) avrò che \( [c]=\{x| x \mathscr{T}c \wedge x \in \mathbb{R} \}=\{x|x=c+2k\pi \wedge k \in \mathbb{Z}\}\), ed infine \( \mathbb{R}\backslash \mathscr{T} =\{y|y=[z] \wedge z \in \mathbb{R}\}\), e ogni suo elemento dicesi angolo; dato un angolo \( r \) ogni suo elemento dicesi "determinazione"...
Sin qui spero di aver letto giusto! La cosa che subito non capisco è il concetto di "determinazione principale", ringrazio chiunque possa/voglia spiegarlo!
Cordiali saluti
P.S.=[Continuo](Ri)Salve a tutti,
ci ho pensato ed in effetti la "determinazione principale" è una cavolata, sempre se ho capito bene quello che ho letto, in sostanza dato un \( t \in [c] \), con ovviamente\( [c] \in \mathbb{R}\backslash \mathscr{T} \), dirò che \( t \) è determinazione principale se \( 0 \preceq t \prec 2\pi \), ovviamente \( t \) è unico e, se non sbaglio e si dimostra che, \(t=c \).. giusto?
ringrazio intanto per le risposte, cmq vorrei seguire il testo senza alcun volo pindarico per il momento... e ho capito che è meglio se faccio proprio come il Sernesi, ed ovvero
"prendo \( a,b \in \mathbb{R} \), dico che \( a \equiv b (mod. 2\pi) \) se \( a-b=2\pi \), una relazione binaria \( \mathscr{T} \) in \( \mathbb{R} \) di questo tipo è di equivalenza; detto questo allora dato \( c \in \mathbb{R} \) avrò che \( [c]=\{x| x \mathscr{T}c \wedge x \in \mathbb{R} \}=\{x|x=c+2k\pi \wedge k \in \mathbb{Z}\}\), ed infine \( \mathbb{R}\backslash \mathscr{T} =\{y|y=[z] \wedge z \in \mathbb{R}\}\), e ogni suo elemento dicesi angolo; dato un angolo \( r \) ogni suo elemento dicesi "determinazione"...
Sin qui spero di aver letto giusto! La cosa che subito non capisco è il concetto di "determinazione principale", ringrazio chiunque possa/voglia spiegarlo!
Cordiali saluti
P.S.=[Continuo](Ri)Salve a tutti,
ci ho pensato ed in effetti la "determinazione principale" è una cavolata, sempre se ho capito bene quello che ho letto, in sostanza dato un \( t \in [c] \), con ovviamente\( [c] \in \mathbb{R}\backslash \mathscr{T} \), dirò che \( t \) è determinazione principale se \( 0 \preceq t \prec 2\pi \), ovviamente \( t \) è unico e, se non sbaglio e si dimostra che, \(t=c \).. giusto?
(Ri)Salve nuovamente a tutti (sperando in qualche risposta),
aggiungo intanto un ulteriore pagina del testo:
leggo inoltre che ad ogni \( t \in \mathbb{R}\backslash \sim \) è possibile associare \( r \in \mathbb{R}\) tale che \( r=min(t) \), e che tale minimo \( r \) prende nome di "angolo convesso associato a \( t \)", ed \( r \in [0,\pi] \). La somma tra angoli è definita considerando la determinazione principale, l'insieme \( \mathbb{R}\backslash \sim \) è gruppo rispetto a tale somma... ma arriviamo al concetto di angolo tra due vettori \( \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^2\), ovviamente considerando \( \mathbb{R}^2\) spazio euclideo.. come potrei definire l'angolo tra questi due vettori?.. non si capisce, o non capisco, molto nel Sernesi.. Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Io pensavo, avendo definito il seno e il coseno di un reale in analisi, potevo dire che un angolo è l'angolo tra i due vettori (ovviamente per angolo, correggetemi se sbaglio, si intende il convesso associato) se il coseno di questo è \( \frac{<\vec{v} \cdot \vec{w}>}{||\vec{v}||\cdot ||\vec{w}||} \), giusto così? Se si, mi domando "se non conoscessi già la funzione seno e coseno come potrei fare?"-- Ringrazio anticipatamente ! Saluti
aggiungo intanto un ulteriore pagina del testo:
leggo inoltre che ad ogni \( t \in \mathbb{R}\backslash \sim \) è possibile associare \( r \in \mathbb{R}\) tale che \( r=min(t) \), e che tale minimo \( r \) prende nome di "angolo convesso associato a \( t \)", ed \( r \in [0,\pi] \). La somma tra angoli è definita considerando la determinazione principale, l'insieme \( \mathbb{R}\backslash \sim \) è gruppo rispetto a tale somma... ma arriviamo al concetto di angolo tra due vettori \( \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^2\), ovviamente considerando \( \mathbb{R}^2\) spazio euclideo.. come potrei definire l'angolo tra questi due vettori?.. non si capisce, o non capisco, molto nel Sernesi.. Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
P.S.=Io pensavo, avendo definito il seno e il coseno di un reale in analisi, potevo dire che un angolo è l'angolo tra i due vettori (ovviamente per angolo, correggetemi se sbaglio, si intende il convesso associato) se il coseno di questo è \( \frac{<\vec{v} \cdot \vec{w}>}{||\vec{v}||\cdot ||\vec{w}||} \), giusto così? Se si, mi domando "se non conoscessi già la funzione seno e coseno come potrei fare?"-- Ringrazio anticipatamente ! Saluti
L'angolo convesso (o semplicemente angolo) il Sernesi lo spiega esattamente come hai scritto nel P.S. (si trova nel paragrafo dei prodotti scalari). Tra l'altro, viene spiegata anche la questione di come definire le funzioni trigonometriche per far tornare le cose.
Non conoscendo le funzioni trigonometriche, non saprei proprio come fare.
Non conoscendo le funzioni trigonometriche, non saprei proprio come fare.
@Riccardo Desimini,
capito.. thanks della risposta cmq
Saluti
P.S.=Preciso che cmq di definire le funzione trigonometriche vi sono tanti modi (CLIC
)
"Riccardo Desimini":
L'angolo convesso (o semplicemente angolo) il Sernesi lo spiega esattamente come hai scritto nel P.S. (si trova nel paragrafo dei prodotti scalari). Tra l'altro, viene spiegata anche la questione di come definire le funzioni trigonometriche per far tornare le cose.
Non conoscendo le funzioni trigonometriche, non saprei proprio come fare.
capito.. thanks della risposta cmq
Saluti
P.S.=Preciso che cmq di definire le funzione trigonometriche vi sono tanti modi (CLIC
)
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