Definizione del segmento orientato
Salve a tutti!
Il mio testo, per parlare di spazio vettoriale dei vettori liberi, dice: " Si consideri l'insieme E dei segmenti orientati dello spazio della geometria ordinaria ..."
Innanzitutto non capisco cosa si intenda per "spazio della geometria ordinaria", e poi ,cercando la definizione di segmento orientato, ho visto su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_orientato che per parlare di segmento orientato bisogna essere calati in uno spazio euclideo e avere fornito la nozione di distanza euclidea. E' possibile, invece parlare di questo spazio vettoriale prescindendo da queste strutture?
Il mio testo, per parlare di spazio vettoriale dei vettori liberi, dice: " Si consideri l'insieme E dei segmenti orientati dello spazio della geometria ordinaria ..."
Innanzitutto non capisco cosa si intenda per "spazio della geometria ordinaria", e poi ,cercando la definizione di segmento orientato, ho visto su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_orientato che per parlare di segmento orientato bisogna essere calati in uno spazio euclideo e avere fornito la nozione di distanza euclidea. E' possibile, invece parlare di questo spazio vettoriale prescindendo da queste strutture?
Risposte
Probabilmente ti si sta dando il primo esempio di spazio vettoriale. Siccome, soprattutto per chi è agli inizi, il concetto di spazio vettoriale può apparire un po' astratto, si è soliti dare come primo esempio appunto lo spazio vettoriale dei vettori liberi.
Per i tuoi scopi (ho visto che sei al primo anno di Fisica), ti basta sapere che lo spazio ordinario è lo spazio tridimensionale che ci circonda. Ti verranno introdotti in seguito i concetti di spazio euclideo e distanza euclidea. Lo so che sto ricorrendo a sinonimi e non è una definizione precisa, ma ti è sufficiente per visualizzare il concetto di spazio vettoriale, in cui è definita l'operazione di somma fra vettori (con la regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di uno scalare per un vettore.
Per i tuoi scopi (ho visto che sei al primo anno di Fisica), ti basta sapere che lo spazio ordinario è lo spazio tridimensionale che ci circonda. Ti verranno introdotti in seguito i concetti di spazio euclideo e distanza euclidea. Lo so che sto ricorrendo a sinonimi e non è una definizione precisa, ma ti è sufficiente per visualizzare il concetto di spazio vettoriale, in cui è definita l'operazione di somma fra vettori (con la regola del parallelogramma) e di moltiplicazione di uno scalare per un vettore.
Grazie per la risposta!
Adesso mi sono reso conto che non ho posto bene la questione.
Sul mio libro di Geometria trovo riportata la definizione di spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo E, in questi termini:
Sia S un insieme non vuoto, E uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3 sul campo reale.
Data l'applicazione Ψ : $ (A,B) in S x S $ ---> $ u in E $ e soddisfacente due opportuni assiomi che non sto a riportare, la coppia (S,Ψ) prende il nome di spazio euclideo associato allo spazio vettoriale euclideo E.
A questo punto, il mio problema è: se quale insieme di punti S prendo lo spazio della geometria ordinaria, e mi va bene lo spazio tridimensionale che ci circonda, pensandolo come insieme di punti, e quale spazio vettoriale E prendo lo spazio vettoriale dei segmenti orientati dello stesso spazio, dovrei aver messo in corrispondenza biunivoca, fissato un punto di S, lo spazio S stesso con lo spazio vettoriale E, e quindi ho "calato" le frecce ( i segmenti orientati) nello spazio che mi circonda (e quindi dovrei avere tutti i presupposti per trattare la meccanica qualora i segmenti orientati abbiano il significato di spostamenti da un punto all'altro)
Quindi la questione è: se E deve essere uno spazio vettoriale euclideo a sè stante, come lo si costruisce in modo assoluto e rigoroso?
Quale è il modo più povero possibile di definire il segmento orientato, elemento di E?
Adesso mi sono reso conto che non ho posto bene la questione.
Sul mio libro di Geometria trovo riportata la definizione di spazio euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo E, in questi termini:
Sia S un insieme non vuoto, E uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3 sul campo reale.
Data l'applicazione Ψ : $ (A,B) in S x S $ ---> $ u in E $ e soddisfacente due opportuni assiomi che non sto a riportare, la coppia (S,Ψ) prende il nome di spazio euclideo associato allo spazio vettoriale euclideo E.
A questo punto, il mio problema è: se quale insieme di punti S prendo lo spazio della geometria ordinaria, e mi va bene lo spazio tridimensionale che ci circonda, pensandolo come insieme di punti, e quale spazio vettoriale E prendo lo spazio vettoriale dei segmenti orientati dello stesso spazio, dovrei aver messo in corrispondenza biunivoca, fissato un punto di S, lo spazio S stesso con lo spazio vettoriale E, e quindi ho "calato" le frecce ( i segmenti orientati) nello spazio che mi circonda (e quindi dovrei avere tutti i presupposti per trattare la meccanica qualora i segmenti orientati abbiano il significato di spostamenti da un punto all'altro)
Quindi la questione è: se E deve essere uno spazio vettoriale euclideo a sè stante, come lo si costruisce in modo assoluto e rigoroso?
Quale è il modo più povero possibile di definire il segmento orientato, elemento di E?
$S$ nel tuo caso è semplicemente il tuo spazio vettoriale tridimensionale reale. Altri insiemi sono possibili, ma non preoccuparti di questo per ora.
Forse ho capito la questione che poni:
Definisci lo spazio della geometria euclidea ordinaria come lo spazio ordinario con l'applicazione $\psi$ che va a finire nello spazio dei vettori orientati. Ma per definire lo spazio dei vettori orientati usi la nozione di spazio euclideo ordinario. Insomma c'è un circolo vizioso che non ti permette di definire niente!
E' questa la tua obiezione?
Beh, se è questa, è un'obiezione più che legittima. Si tratta di stabilire a priori in che "mondo" vogliamo muoverci e creare la nostra teoria, ovvero si tratta di stabilire quali sono gli assiomi che diamo per buoni. Qui tu stai dando per buono il fatto che ti muovi in un mondo 3-dimensionale, in cui c'è un modo particolare di misurare le distanze, (che per esempio implica che vale il teorema di Pitagora), ecc. ecc. E dato il tuo spazio con queste nozioni di "distanza", "punti", "rette" costruisci tutta la tua bella teoria che ti permette di spiegare i tuoi esperimenti fisici.
Poi, chissà fra qualche anno, arriva un tale e ti dice che tutti questi assiomi introdotti non ti permettono di spiegare alcuni fenomeni fisici ed è meglio ripartire da zero e introdurre un altro spazio di dimensione quattro (che qualche pazzoide chiamerà spazio-tempo) ed è meglio misurare le distanze in ultro modo, facendo in modo pure che si possa parlare di "distanza negativa". E poi ti accorgi che questa teoria stramba spiega anche qualche fenomeno in più...vabbè ma questa è un'altra storia...
Quello che importa è che a un certo punto, parti con un concetto primitivo, in questo caso il naturale spazio tridimensionale con un certo modo di calcolare distanze. Poi parti con tutta la teoria che è tanto migliore, quanto più ti permette di spiegare i fenomeni fisici.
In Matematica si è soliti definire il concetto di spazio euclideo in maniera indipendente. Semplicemente si definisce il concetto di spazio vettoriale euclideo (e si può farlo avendo definito il campo $RR$ e l'insieme che verifica tutta le proprietà che conosci) e un insieme $S$ su cui è definita la $psi$ con certe proprietà.
Una volta fatto ciò hai definito lo spazio euclideo. Fine.
Definisci lo spazio della geometria euclidea ordinaria come lo spazio ordinario con l'applicazione $\psi$ che va a finire nello spazio dei vettori orientati. Ma per definire lo spazio dei vettori orientati usi la nozione di spazio euclideo ordinario. Insomma c'è un circolo vizioso che non ti permette di definire niente!
E' questa la tua obiezione?
Beh, se è questa, è un'obiezione più che legittima. Si tratta di stabilire a priori in che "mondo" vogliamo muoverci e creare la nostra teoria, ovvero si tratta di stabilire quali sono gli assiomi che diamo per buoni. Qui tu stai dando per buono il fatto che ti muovi in un mondo 3-dimensionale, in cui c'è un modo particolare di misurare le distanze, (che per esempio implica che vale il teorema di Pitagora), ecc. ecc. E dato il tuo spazio con queste nozioni di "distanza", "punti", "rette" costruisci tutta la tua bella teoria che ti permette di spiegare i tuoi esperimenti fisici.
Poi, chissà fra qualche anno, arriva un tale e ti dice che tutti questi assiomi introdotti non ti permettono di spiegare alcuni fenomeni fisici ed è meglio ripartire da zero e introdurre un altro spazio di dimensione quattro (che qualche pazzoide chiamerà spazio-tempo) ed è meglio misurare le distanze in ultro modo, facendo in modo pure che si possa parlare di "distanza negativa". E poi ti accorgi che questa teoria stramba spiega anche qualche fenomeno in più...vabbè ma questa è un'altra storia...
Quello che importa è che a un certo punto, parti con un concetto primitivo, in questo caso il naturale spazio tridimensionale con un certo modo di calcolare distanze. Poi parti con tutta la teoria che è tanto migliore, quanto più ti permette di spiegare i fenomeni fisici.
In Matematica si è soliti definire il concetto di spazio euclideo in maniera indipendente. Semplicemente si definisce il concetto di spazio vettoriale euclideo (e si può farlo avendo definito il campo $RR$ e l'insieme che verifica tutta le proprietà che conosci) e un insieme $S$ su cui è definita la $psi$ con certe proprietà.
Una volta fatto ciò hai definito lo spazio euclideo. Fine.
"cirasa":
Forse ho capito la questione che poni:
Definisci lo spazio della geometria euclidea ordinaria come lo spazio ordinario con l'applicazione $\psi$ che va a finire nello spazio dei vettori orientati. Ma per definire lo spazio dei vettori orientati usi la nozione di spazio euclideo ordinario. Insomma c'è un circolo vizioso che non ti permette di definire niente!
E' questa la tua obiezione?
Esattamente!
Ho ancora una difficoltà a costruire questo spazio vettoriale euclideo con cui volevo lavorare.
Ad es. assumendo come concetto primitivo la nozione di punto, retta, segmento, distanza tra due punti (gli ultimi due non son sicuro siano concetti primitivi, correggetemi se sbaglio
) un modo di calcolare le distanze potrebbe anche essere "usare il righello"?Si può schematizzare un modo di procdere?
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