Definizione classe di equivalenza
Ciao a tutti!! ho qualche problema a capire il senso della definizione di classe di equivalenza, cito quanto scritto sul libro:
Sia A un insieme in cui è definita una relazione di equivalenza ~. Se $a in A$, la classe di equivalenza $[a] sube A$ di a è il sottinsieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad a.
Adesso vediamo se ho capito bene, in pratica questa [a] è formata da tutti gli elementi $b in A$ tali che $a ~ b$?? E' questo il senso?
Della serie (per esempio), se ~ è la relazione che ad ogni numero $n in NN$ associa i suoi divisori interi, allora [6] = {1,2,3}???
Sia A un insieme in cui è definita una relazione di equivalenza ~. Se $a in A$, la classe di equivalenza $[a] sube A$ di a è il sottinsieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad a.
Adesso vediamo se ho capito bene, in pratica questa [a] è formata da tutti gli elementi $b in A$ tali che $a ~ b$?? E' questo il senso?
Della serie (per esempio), se ~ è la relazione che ad ogni numero $n in NN$ associa i suoi divisori interi, allora [6] = {1,2,3}???
Risposte
i numeri pari e dispari?? Io personalmente li ho sempre definiti così
Pari = ${2n + 1, n in ZZ}$; Dispari = ${2n, n in ZZ}$
Però non capisco cosa c'entri con la classe di equivalenza...
Pari = ${2n + 1, n in ZZ}$; Dispari = ${2n, n in ZZ}$
Però non capisco cosa c'entri con la classe di equivalenza...
I numeri pari(rispettivamente dispari) sono la classe di equivalenza [0](rispettivamente [1]) della relazione di equivalenza "modulo 2" nell'insieme degli interi x~y se e solo se x-y è pari
una domanda apparentemente stupida...
In base a quanto sopra...la relazione "modulo $2\pi$" non ti fa venire in mente nulla?
Ed esempio importantissimo... i numeri razionali!
I numeri razionali li consideri come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi $(a,b)$, con $b \ne 0$, dove la relazione di equivalenza è definita come:
$(a,b) ~ (c,d)$ se e solo se $ad = bc$
La classe di equivalenza a cui appartiene $(a,b)$ si identifica con $a/b$.
In base a quanto sopra...la relazione "modulo $2\pi$" non ti fa venire in mente nulla?
Ed esempio importantissimo... i numeri razionali!
I numeri razionali li consideri come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi $(a,b)$, con $b \ne 0$, dove la relazione di equivalenza è definita come:
$(a,b) ~ (c,d)$ se e solo se $ad = bc$
La classe di equivalenza a cui appartiene $(a,b)$ si identifica con $a/b$.
Più semplice.
Prendi un'aula universitaria piena di studenti e definisci la seguente relazione: presi due studenti $a,b$, si scrive $a~b$ se e solo se essi sono seduti nello stesso banco.
Prova innanzitutto che $~$ è di equivalenze nell'insieme degli studenti, altrimenti quanto dico non ha senso.
Ti chiedi chi è la classe di $~$-equivalenza di uno studente $a$?
Semplice: visto che $b in [a]$ se e solo se $a~b$, la classe $[a]$ è costituita da tutti e soli gli studenti che sono seduti nello stesso banco di $a$.
Prendi un'aula universitaria piena di studenti e definisci la seguente relazione: presi due studenti $a,b$, si scrive $a~b$ se e solo se essi sono seduti nello stesso banco.
Prova innanzitutto che $~$ è di equivalenze nell'insieme degli studenti, altrimenti quanto dico non ha senso.
Ti chiedi chi è la classe di $~$-equivalenza di uno studente $a$?
Semplice: visto che $b in [a]$ se e solo se $a~b$, la classe $[a]$ è costituita da tutti e soli gli studenti che sono seduti nello stesso banco di $a$.
"enpires":
Ciao a tutti!! ho qualche problema a capire il senso della definizione di classe di equivalenza, cito quanto scritto sul libro:
Sia A un insieme in cui è definita una relazione di equivalenza ~. Se $a in A$, la classe di equivalenza $[a] sube A$ di a è il sottinsieme di tutti gli elementi di A equivalenti ad a.
Adesso vediamo se ho capito bene, in pratica questa [a] è formata da tutti gli elementi $b in A$ tali che $a ~ b$?? E' questo il senso?
Della serie (per esempio), se ~ è la relazione che ad ogni numero $n in NN$ associa i suoi divisori interi, allora [6] = {1,2,3}???
la definizione è esattamente quella
ovviamente, giusto per fare i pignoli, $a in [a]$ quindi nel tuo caso (dimenticanza suppongo) $6 in [6]$ essendo una relazione di equivalenza simmetrica per definizione
"Luc@s":
una domanda apparentemente stupida...
In base a quanto sopra...la relazione "modulo $2\pi$" non ti fa venire in mente nulla?
Ed esempio importantissimo... i numeri razionali!
I numeri razionali li consideri come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi $(a,b)$, con $b \ne 0$, dove la relazione di equivalenza è definita come:
$(a,b) ~ (c,d)$ se e solo se $ad = bc$
La classe di equivalenza a cui appartiene $(a,b)$ si identifica con $a/b$.
Giusto, poi è affascinante notare come $QQ$ sia definito a partire dalla relazione $(ZZxZZ)/~$, e gli stessi $ZZ$ definiti a partire dai naturali come $(NNxNN)/rho$ dove una coppia di naturali $(a,b) rho (c,d)$ se e solo se $a+d=b+c$
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