Definitezza di prodotti scalari e prodotti scalari degeneri o non degeneri
Salve.
Ho dei dubbi riguardo la definitezza di un prodotto scalare (mi limito ai prodotti scalari su $ \mathbb{R} $).
Ad esempio, guardando da varie fonti (dal testo che sto seguendo e facendo ricerche sul web), mi sembra di capire che un prodotto scalare $ \langle \cdot | \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} $ tale che $ \langle v | w \rangle = w^TSv $ è definito, positivo o negativo non è precisato, se e solo se $ KerS={O} $.
E non avrei problemi se il prodotto fosse dato solamente da $ \langle v | v \rangle = Sv $, è il termine $ v^T $ che mi confonde.
Non potrebbe succedere che $ O \ne Sv \in Ker(v^T) $, rendendo il prodotto $ \langle v | v \rangle = 0 $ comunque?
Per quanto riguarda i prodotti degeneri o non degeneri, invece (ma questo non l'ho letto da nessuna parte, a tutti gli effetti non ho trovato nulla sul web a riguardo), stesso dilemma, prendendo lo stesso tipo di prodotto scalare definito sopra, perché il prodotto scalare sia degenere deve essere: $ \exists w \in V | \langle v | w \rangle = w^TSv = 0 \forall v \in V $ ed è chiaro che se $ KerS \ne {O} $ allora è degenere, ma se non è così sono andato avanti nel seguente modo.
Fissando $ w $ e lasciando variare $ v $ ho trovato la forma che dovrebbe avere $ S_1v $ rispetto in funzione delle altre righe di $ Sv $ per appartenere a $ Ker(w^T) $, poi ho provato ad usare il fatto che la matrice $ S $ deve essere simmetrica per far vedere che ciò non può mai succedere per cui basta che il nucleo contenga solo il vettore nullo. Per la definitezza invece dovrebbe bastar notare che ci si riduce al caso in cui $ v=w $, e anche a dimostrare ciò di cui ho parlato sopra solo in questo caso non ho avuto successo.
Cosa sto sbagliando? L'errore è nell'approccio o nelle supposizioni che faccio in partenza?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Ho dei dubbi riguardo la definitezza di un prodotto scalare (mi limito ai prodotti scalari su $ \mathbb{R} $).
Ad esempio, guardando da varie fonti (dal testo che sto seguendo e facendo ricerche sul web), mi sembra di capire che un prodotto scalare $ \langle \cdot | \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} $ tale che $ \langle v | w \rangle = w^TSv $ è definito, positivo o negativo non è precisato, se e solo se $ KerS={O} $.
E non avrei problemi se il prodotto fosse dato solamente da $ \langle v | v \rangle = Sv $, è il termine $ v^T $ che mi confonde.
Non potrebbe succedere che $ O \ne Sv \in Ker(v^T) $, rendendo il prodotto $ \langle v | v \rangle = 0 $ comunque?
Per quanto riguarda i prodotti degeneri o non degeneri, invece (ma questo non l'ho letto da nessuna parte, a tutti gli effetti non ho trovato nulla sul web a riguardo), stesso dilemma, prendendo lo stesso tipo di prodotto scalare definito sopra, perché il prodotto scalare sia degenere deve essere: $ \exists w \in V | \langle v | w \rangle = w^TSv = 0 \forall v \in V $ ed è chiaro che se $ KerS \ne {O} $ allora è degenere, ma se non è così sono andato avanti nel seguente modo.
Fissando $ w $ e lasciando variare $ v $ ho trovato la forma che dovrebbe avere $ S_1v $ rispetto in funzione delle altre righe di $ Sv $ per appartenere a $ Ker(w^T) $, poi ho provato ad usare il fatto che la matrice $ S $ deve essere simmetrica per far vedere che ciò non può mai succedere per cui basta che il nucleo contenga solo il vettore nullo. Per la definitezza invece dovrebbe bastar notare che ci si riduce al caso in cui $ v=w $, e anche a dimostrare ciò di cui ho parlato sopra solo in questo caso non ho avuto successo.
Cosa sto sbagliando? L'errore è nell'approccio o nelle supposizioni che faccio in partenza?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Non si capisce molto bene che domanda hai fatto all'inizio, ma comunque la risposta è no: fissate delle basi, una applicazione bilineare su $V$ si scrive come una certa matrice, e l'applicazione è non degenere se e solo se questa matrice ha determinante diverso da zero, e questo equivale a chiedere che il suo nucleo sia banale.
Porre \(\langle v|v\rangle = Sv\) non ha ovviamente alcun senso: a sinistra c'è uno scalare, e a destra un vettore.
Porre \(\langle v|v\rangle = Sv\) non ha ovviamente alcun senso: a sinistra c'è uno scalare, e a destra un vettore.
Ecco, appunto, non riesco a capire perché basta che $ KerS = {O} $.
Quando ho detto che lo avrei capito se $ \langle v | v \rangle = Sv $ era una sorta di battuta per far capire che il mio dubbio arriva proprio con $ v^T $, so che non ha senso porre $ \langle v | v \rangle = Sv $.
Infatti nel cercare di dimostrarlo non capisco perché si ignora la possibilità che $ Sv \in Ker(v^T) $, o nel caso del prodotto degenere/non degenere perché non si conta che potrebbe valere $ Sv \in Ker(w^T) $.
Insomma, se $ KerS \ne {O} $ e contiene vettori diversi dal vettore nullo, allora mi pare ovvio che il prodotto è degenere, mentre il viceversa non mi sembra tanto ovvio (cioè "prodotto degenere implica $KerS={O} $" )
Quando ho detto che lo avrei capito se $ \langle v | v \rangle = Sv $ era una sorta di battuta per far capire che il mio dubbio arriva proprio con $ v^T $, so che non ha senso porre $ \langle v | v \rangle = Sv $.
Infatti nel cercare di dimostrarlo non capisco perché si ignora la possibilità che $ Sv \in Ker(v^T) $, o nel caso del prodotto degenere/non degenere perché non si conta che potrebbe valere $ Sv \in Ker(w^T) $.
Insomma, se $ KerS \ne {O} $ e contiene vettori diversi dal vettore nullo, allora mi pare ovvio che il prodotto è degenere, mentre il viceversa non mi sembra tanto ovvio (cioè "prodotto degenere implica $KerS={O} $" )
"OperatoreNabla":
Ecco, appunto, non riesco a capire perché basta che $ KerS = {O} $.
Una funzione di un insieme finito in sé stesso è biiettiva se e solo se è iniettiva, se e solo se è suriettiva. Questo basta.
Infatti nel cercare di dimostrarlo non capisco perché si ignora la possibilità che $ Sv \in Ker(v^T) $, o nel caso del prodotto degenere/non degenere perché non si conta che potrebbe valere $ Sv \in Ker(w^T) $.
Infatti può succedere: quello che non può succedere è che esista un $v$ per cui $w^TSv=0$ per ogni $w$ senza che $Sv=0$.
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