Definire due applicazioni lineari
Salve,io ho problemi nel capire la risoluzione di esercizi in cui si devono definire due applicazioni legate da alcune relazioni (come negli esempi sotto) e rispondere ad eventuali domande su Ker. o Im. di entrambi.
Esercizio 1 :
a) Stabilire se un applicazione F :$ RR^4 -> RR^3 $ t.c.
F ((1,0,1,0))= (1,2,1) , F ((3,-1,2,1))= (2,-1,1) , F ((1,-1,1,0))= (1,0,0) , F ((2,0,1,1))= (0,1,1)
L'applicazione è lineare?
b) Definire un app. lineare G :$ RR^4 -> RR3(x) $ t.c.
G ((2,0,2,0)) = G ((3,-1,2,1)) = G ((1,-1,1,0))
è possibile dim KerG = dim ImG ? Può essere dim Img > dim KerG?
Esercizio 2 :
a) Sia F: $ RR^3 -> RR^3 $ l'endomorfismo così definito :
F ( a,b,c) = (3a - c, -a + 2b, 2a + c)
Stabilire se F è diagonalizzabile . Determinare due basi distinte di $ RR^3 $ contenenti un autovettore di F.
b) è possibile definire un app. lineare G : $ RR^3 -> RR^3 $ t.c.
G ((2,1,1)) = F ((2,-1,1)) e G ((-1,0,1)) = (1, - $ 4/5 $ , 1)?
Se G esiste è unica?è iniettiva? Calcolare G ((7,1,-4))
Per il primo esercizio a) ho supposto che ,essendo F(3,-1,2,1) = F (2,0,1,1) + F(1,-1,1,0) fosse non lineare,perchè sennò associava alla stessa funzione due immagini diverse
Per il primo esercizio b) ho pensato di ''giocare'' con il nucleo facendo G1-G2= 0 = G1-G3 = G2-G3 ,cioè che il nucleo fosse formato da quei tre vettori e quindi KerG = 3,con risposte negative per le domande sull ImG.
Il secondo esercizio non riesco a risolvere il punto b).
Ma per entrambi gli esercizi ho tanti dubbi,sono andato più a naso...potreste dirmi lo svolgimento giusto
?
Esercizio 1 :
a) Stabilire se un applicazione F :$ RR^4 -> RR^3 $ t.c.
F ((1,0,1,0))= (1,2,1) , F ((3,-1,2,1))= (2,-1,1) , F ((1,-1,1,0))= (1,0,0) , F ((2,0,1,1))= (0,1,1)
L'applicazione è lineare?
b) Definire un app. lineare G :$ RR^4 -> RR3(x) $ t.c.
G ((2,0,2,0)) = G ((3,-1,2,1)) = G ((1,-1,1,0))
è possibile dim KerG = dim ImG ? Può essere dim Img > dim KerG?
Esercizio 2 :
a) Sia F: $ RR^3 -> RR^3 $ l'endomorfismo così definito :
F ( a,b,c) = (3a - c, -a + 2b, 2a + c)
Stabilire se F è diagonalizzabile . Determinare due basi distinte di $ RR^3 $ contenenti un autovettore di F.
b) è possibile definire un app. lineare G : $ RR^3 -> RR^3 $ t.c.
G ((2,1,1)) = F ((2,-1,1)) e G ((-1,0,1)) = (1, - $ 4/5 $ , 1)?
Se G esiste è unica?è iniettiva? Calcolare G ((7,1,-4))
Per il primo esercizio a) ho supposto che ,essendo F(3,-1,2,1) = F (2,0,1,1) + F(1,-1,1,0) fosse non lineare,perchè sennò associava alla stessa funzione due immagini diverse
Per il primo esercizio b) ho pensato di ''giocare'' con il nucleo facendo G1-G2= 0 = G1-G3 = G2-G3 ,cioè che il nucleo fosse formato da quei tre vettori e quindi KerG = 3,con risposte negative per le domande sull ImG.
Il secondo esercizio non riesco a risolvere il punto b).
Ma per entrambi gli esercizi ho tanti dubbi,sono andato più a naso...potreste dirmi lo svolgimento giusto
?
Risposte
bevenuto nel forum.
Non si potrebbe postare più di un esercizio alla volta per regolamento.
In 1
a): si ha $f(3,-1,2,1) !=f(2,0,1,1)+f(1,-1,1,0)$. Non capisco perché tu abbia scritto $=$.
Salta così il primo assioma per la definizione di appl. linare ($phi(v+w)=phi(v) + phi(w)$ ).
b)
Non ho svolto i conti, però il barbatrucco del nucleo è la strada giusta.
2.
a) Solita minestra con autovettori e autovalori, non è possibile andare a naso poiché c'è un procedimento schematico da seguire:
1.a Se è simmetrica: è sicuramente diagonalizzabile ecc. (th. spettrale)
1. $det(A-lambdaI)=0$ : trovi gli autovalori
2. Verifichi per $forall lambda_i: m.a=m.g$ (molteplicità algebrica e geometrica) $rightarrow$ è diagonalizzabile.
3. ricerca del $ker(A-lambda_i)$: trovi gli autovettori
Esiste quindi una matrice $P$ che ha come colonne gli autovettori tale che $P^-1AP=D$, con $D$ diagonale con autovalori su di essa.
b) Ti conviene riguardare il teorema di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare.
Non si potrebbe postare più di un esercizio alla volta per regolamento.
In 1
a): si ha $f(3,-1,2,1) !=f(2,0,1,1)+f(1,-1,1,0)$. Non capisco perché tu abbia scritto $=$.
Salta così il primo assioma per la definizione di appl. linare ($phi(v+w)=phi(v) + phi(w)$ ).
b)
Non ho svolto i conti, però il barbatrucco del nucleo è la strada giusta.
2.
a) Solita minestra con autovettori e autovalori, non è possibile andare a naso poiché c'è un procedimento schematico da seguire:
1.a Se è simmetrica: è sicuramente diagonalizzabile ecc. (th. spettrale)
1. $det(A-lambdaI)=0$ : trovi gli autovalori
2. Verifichi per $forall lambda_i: m.a=m.g$ (molteplicità algebrica e geometrica) $rightarrow$ è diagonalizzabile.
3. ricerca del $ker(A-lambda_i)$: trovi gli autovettori
Esiste quindi una matrice $P$ che ha come colonne gli autovettori tale che $P^-1AP=D$, con $D$ diagonale con autovalori su di essa.
b) Ti conviene riguardare il teorema di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare.
Grazie per la risposta,scusate per aver messo due esercizi nello stesso post
ok,farò più attenzione in futuro 
ho riguardato il teorema che mi hai suggerito,però non capisco come risalire alla applicazione G . Tentando di verificare se i 3 vettori ,su cui applicare G ,che il testo suggerisce siano o no indipendenti risulta che essi sono dipendenti e quindi se G esiste non è unica...o non esiste proprio come applicazione?
ho riguardato il teorema che mi hai suggerito,però non capisco come risalire alla applicazione G . Tentando di verificare se i 3 vettori ,su cui applicare G ,che il testo suggerisce siano o no indipendenti risulta che essi sono dipendenti e quindi se G esiste non è unica...o non esiste proprio come applicazione?
Per individuare una'applicazione lineare è sufficiente conoscere le immagini degli elementi di una base. Ossia, assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio $V$, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.
Ora, i vettori su cui opera sono linearmente indipendenti pertanto esiste, ma non è unica !
Infatti è come se avessimo solo due condizioni su $g$. Potremmo completare a una base di $R^3$ e definire una nostra $g$ a piacere, purchè non entri in contraddizione con la definizione di applicazione lineare.
Ora, i vettori su cui opera sono linearmente indipendenti pertanto esiste, ma non è unica !
Infatti è come se avessimo solo due condizioni su $g$. Potremmo completare a una base di $R^3$ e definire una nostra $g$ a piacere, purchè non entri in contraddizione con la definizione di applicazione lineare.
Ora ho capito ,grazie
Bene 
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