Definire app. lineare

[Joker911]

Come si può definire un applicazione lineare dato il nucleo e l'immagine?

[Luca9712]

Sperando di non sbagliare.

Dato $Ker(F)$ il nucleo ed $\underline{0}$ l'immagine.

Sia $F:V\to W$ un'applicazione lineare definita tra spazi vettoriali su un campo $\mathbb{K}$ (ad esempio $\mathbb{R}$). Dove il nucleo di $F$ è appunto $Ker(F)$

definito come

$Ker(F):=\{v\in V\mbox{ t.c. }F(v)=\underline{0}\in W\}$

cioè come l'insieme degli elementi del dominio $V$ che hanno immagine $\underline{0}$ mediante $F$.

p.s.: Data l'identità di uno spazio vettoriale $V, F=Id_V:V\to V$, l'unico elemento appartenente al nucleo è lo zero di $V$.

[Joker911]

Scusa mi sono spiegato male, intendo definire la matrice associata all'applicazione lineare

[Luca9712]

Ti interessa dunque vedere come determinare la matrice associata ad una applicazione lineare $T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$.
La tua richiesta, in pratica, consiste nella scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche
del dominio e del codominio di $T$.

In questo senso, ci sono essenzialmente due tipi di esercizi sul calcolo della matrice associata, che sono strettamente legati alla definizione della specifica applicazione lineare che l'esercizio propone.

Un'applicazione lineare, in generale, può infatti essere definita mediante:

1) un vettore delle coordinate della generica immagine;

2) le immagini di alcuni vettori del dominio.

Visto che , In ciascuno dei due casi si dovrà ricorrere a due diversi metodi, che dal punto di vista teorico coincidono, ma non dal punto di vista pratico, aspetto tue indicazioni per l'input del metodo che preferisci.

Ciao.

[Joker911]

non conoscendo nessuno dei due metodi non saprei quale scegliere, quello più semplice ovviamente... A te la scelta!

[Luca9712]

Preferisco l'$1$ : matrice associata a partire dalla generica immagine

Prendiamo un'applicazione lineare definita mediante l'immagine del vettore delle incognite, ad esempio se $T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$, con un vettore del tipo



$T(x_1,x_2,...,x_m)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1m}x_m\mbox{, }...\mbox{, }a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nm}x_m)$



In tal caso la matrice rappresentativa di $T$ è come un calcio di rigore di Balotelli.
Dobbiamo solo ricordare che, per definizione, la matrice associata ad una applicazione lineare
$T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ è una matrice $A_T\in Mat(n,m,\mathbb{R})$ tale che



$A_T\underline{x}=T\underline{x}$



Dunque ogni elemento di $T\underline{x}$, diciamo l'i-esimo, è dato dal prodotto riga per colonna tra la i-esima riga di $AT$ e il vettore colonna $x$. Si vede subito che la matrice $AT$ ha componenti



$A_T=$\begin{matrix}a_{11}& a_{12}& ... & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& ... & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \cdot & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& ... & a_{nm}\end{matrix}



Per convincersene è sufficiente calcolare il prodotto matrice-vettore $Ax$: il risultato è prprio il vettore colonna $Tx$.


Esempio


Vogliamo trovare la matrice rappresentativa (rispetto alle basi canoniche) dell'applicazione lineare definita da



$T(x,y,z)=(2x+3y-z,4x+27y-5z)$



Ragionando secondo quanto visto in precedenza, e quindi facendo riferimento al prodotto riga per colonna, la matrice associata a $T$ è



$A_T=$\begin{matrix}2& 3 & -1\\ 4 & 27 & -5\end{matrix}



Infatti

$A_T=$

\begin{matrix}2& 3 & -1\\ 4 & 27 & -5\end{matrix}\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}
$A_T=$ \begin{matrix}2x+3y-z\\ 4x+27y-5z\end{matrix}