Def. numero di Lebesgue
Ciao a tutti! Nei Primi fondamenti della topologia di Alexandrov trovo il numero di Lebesgue di un ricoprimento \(S=(F_1,F_2,...,F_s)\) di un insieme $F$ (chiuso, nella fattispecie, che non ho chiaro che cosa significhi nel contesto; si sottintende, ovviamente per quanto sto per dire, che $F$ è uno spazio metrico, forse addirittura un sottospazio di $\mathbb{R}^n$) è definito come un numero $\sigma$ tale che se esiste un punto $a$ con distanza $<\sigma$ da $k$ elementi del ricoprimento $F_{i_1},...,F_{i_k}$, allora \(F_{i_1}\cap...\cap F_{i_k}\ne \emptyset\).
Nel Sernesi, Geometria 2, trovo invece definito un numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto \(\mathcal{U}\) di uno spazio metrico definito come un numero reale $\sigma>0$ tale che il ricoprimento \(\mathcal{V}_{\sigma}\) costituito dai dischi aperti di raggio $\sigma$ sia un raffinamento di \(\mathcal{U}\), cioè ogni elemento di \(\mathcal{V}_{\sigma}\) sta dentro un elemento di \(\mathcal{U}\) .
Mi chiedevo se tali definizioni si equivalgano e come ciò si possa dimostrare...
Qualche idea?
Grazie di cuore a tutti!!!
Nel Sernesi, Geometria 2, trovo invece definito un numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto \(\mathcal{U}\) di uno spazio metrico definito come un numero reale $\sigma>0$ tale che il ricoprimento \(\mathcal{V}_{\sigma}\) costituito dai dischi aperti di raggio $\sigma$ sia un raffinamento di \(\mathcal{U}\), cioè ogni elemento di \(\mathcal{V}_{\sigma}\) sta dentro un elemento di \(\mathcal{U}\) .
Mi chiedevo se tali definizioni si equivalgano e come ciò si possa dimostrare...
Qualche idea?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Ti do una terza definizione, diciamo intermedia, che dovrebbe aiutarti a fare da ponte tra le due che hai a disposizione. Sia $\mathcal{U} = \{ U_i\}$ un ricoprimento aperto di uno spazio metrico $X$. Il numero di Lebesgue $\sigma$ di $\mathcal{U}$ e' un reale positivo (se esiste) tale che per ogni $x \in X$, $B_\sigma(x)$ (la palletta centrata in $x$ di raggio $\sigma$) e' interamente contenuta in un qualche $U_i$.
Dimostrare che questa definizione e' equivalente a quella di Sernesi e' facile.
Vediamo ora come mostrare che e' equivalente a quella di Alexandrov. Fissiamo $k$ indici $i_1,...,i_k$ e consideriamo $a \in X$ per cui $dist(x,F_{i_j}) < \sigma$: in particolare, esiste $x_j \in F_{i_j}$ tale che $dist(a,x_j) < \sigma$. Per ogni $j$ definiamo $B_j = B_\sigma(x_j)$. Per definizione $B_j \subseteq F_{i_j}$ in quanto $\sigma$ e' il numero di Lebesgue del ricoprimento. Ognuna di queste pallettine $B_j$ contiene $a$. Questo dimostra che $a$ sta nell'intersezione degli $F_{i_j}$ che quindi non e' vuota.
Dimostrare che questa definizione e' equivalente a quella di Sernesi e' facile.
Vediamo ora come mostrare che e' equivalente a quella di Alexandrov. Fissiamo $k$ indici $i_1,...,i_k$ e consideriamo $a \in X$ per cui $dist(x,F_{i_j}) < \sigma$: in particolare, esiste $x_j \in F_{i_j}$ tale che $dist(a,x_j) < \sigma$. Per ogni $j$ definiamo $B_j = B_\sigma(x_j)$. Per definizione $B_j \subseteq F_{i_j}$ in quanto $\sigma$ e' il numero di Lebesgue del ricoprimento. Ognuna di queste pallettine $B_j$ contiene $a$. Questo dimostra che $a$ sta nell'intersezione degli $F_{i_j}$ che quindi non e' vuota.
Bello!!! Il mio grazie non può stare in una pallettina... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo