Def: matrici di cambiamento di base
allora il mio libro dice, avendo $ B $ base di partenza e $ C $ base d'arrivo e la matrice $ F $ tale che $ x_c=Fx_b $ dove $ x_c $ coordinate rispetto $ C $ e $ x_b $ coordinate rispetto $ B $.
la matrice $ F $ è detta di cambiamento di base da $ C $ a $ B $.
ma non sarebbe più intuitivo definire $ F $ come la matrice di cambiamento da $ B $ a $ C $ dato che prende coordinate rispetto $ B $ e le porta rispetto $ C $ ?
ho notato che la matrice formata sulle colonne dai vettori di una base $ B $ rappresenta l'applicazione che porta dalle coordinate rispetto alla base $ B $ nelle coordinate rispetto la base canonica, sara per questo che la definizione è opposto al intuizione?
se cosi fosse non sarebbe più semplice dare una definizione intuitiva e spiegare perché la matrice formata da basi rappresenta l'applicazione inversa?
grazie e un salutone.
la matrice $ F $ è detta di cambiamento di base da $ C $ a $ B $.
ma non sarebbe più intuitivo definire $ F $ come la matrice di cambiamento da $ B $ a $ C $ dato che prende coordinate rispetto $ B $ e le porta rispetto $ C $ ?
ho notato che la matrice formata sulle colonne dai vettori di una base $ B $ rappresenta l'applicazione che porta dalle coordinate rispetto alla base $ B $ nelle coordinate rispetto la base canonica, sara per questo che la definizione è opposto al intuizione?
se cosi fosse non sarebbe più semplice dare una definizione intuitiva e spiegare perché la matrice formata da basi rappresenta l'applicazione inversa?
grazie e un salutone.
Risposte
pls help
perché all'applicazione $L_F$ viene associato alla matrice $F$ che però $L_F(v_c)=v_b$ mentre $Fx_b=x_c$?
perché all'applicazione $L_F$ viene associato alla matrice $F$ che però $L_F(v_c)=v_b$ mentre $Fx_b=x_c$?
"skeletro":
allora il mio libro dice, avendo $ B $ base di partenza e $ C $ base d'arrivo e la matrice $ F $ tale che $ x_c=Fx_b $ dove $ x_c $ coordinate rispetto $ C $ e $ x_b $ coordinate rispetto $ B $.
la matrice $ F $ è detta di cambiamento di base da $ C $ a $ B $.
ma non sarebbe più intuitivo definire $ F $ come la matrice di cambiamento da $ B $ a $ C $ dato che prende coordinate rispetto $ B $ e le porta rispetto $ C $ ?
Ma $F$, per come l'hai definita, E' la matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$ _infatti
prende coordinate rispetto a $B$ e te le dà rispetto a $C$.
immaginavo non era intuitivo per niente cosi.
a questo punto mi manca solo capire la relazione che si ha tra applicazioni e matrici so che sono isomorfe ma non capisco come le usino per ricavare la matrice di cambiamento di base qualcuno ne sa qualcosa?
praticamente prendo la matrice di arrivo la inverto e la metto a sinistra della matrice formatta dai vettori della base di partenza cosi ottengo la matrice di cambiamento da partenza ad arrivo ma come si giunge a questo risultato?
a questo punto mi manca solo capire la relazione che si ha tra applicazioni e matrici so che sono isomorfe ma non capisco come le usino per ricavare la matrice di cambiamento di base qualcuno ne sa qualcosa?
praticamente prendo la matrice di arrivo la inverto e la metto a sinistra della matrice formatta dai vettori della base di partenza cosi ottengo la matrice di cambiamento da partenza ad arrivo ma come si giunge a questo risultato?
Ci si giunge
se si considera l'idea di "coordinate".
Un vettore è definito, rispetto ad una base, dai "pesi" (cioè i coefficienti) di
una combinazione lineare dei vettori della base.
Considero una base $B_1$ e chiamo i suoi vettori $e_1,e_2,...,e_n$
Avrò allora: $\vecvv=\lambda^1e_1+\lambda^2e_2+...+\lambda^"n"e_n$. $(1$
Posso dire che $(\lambda^1,\lambda^2,...,\lambda^n)$ sone le coordinate di $v$ nella base $B_1$.
Ora considero una altra base, $B_2$; di vettori $\hate_1,\hate_2,...,\hate_n$
Un vettore $e_i$ della base $B_1$ avrà coordinate $\mu_i^j$, $_(i,j=1,2,...n)$ nella base $B_2$.
Puoi considerare gli elementi $\mu_i^j$ in una matrice quadrata $M_n$, che sarà
la matrice che ammetta come sue colonne le coordinate dei vettori di $B_1$ nella base $B_2$.
L'espressione $(1$ diviene (scrivendo in notazione indiciale: è da ritenersi la somma sugli indici ripetuti):
$\vecv=\lambda^i\mu_i^j\hate_j$
In notazione matriciale, le nuove coordinate $\vec\hat\lambda$ di $\vecv$ saranno allora:$\vec\hat\lambda=M\vec\lambda$
se si considera l'idea di "coordinate".
Un vettore è definito, rispetto ad una base, dai "pesi" (cioè i coefficienti) di
una combinazione lineare dei vettori della base.
Considero una base $B_1$ e chiamo i suoi vettori $e_1,e_2,...,e_n$
Avrò allora: $\vecvv=\lambda^1e_1+\lambda^2e_2+...+\lambda^"n"e_n$. $(1$
Posso dire che $(\lambda^1,\lambda^2,...,\lambda^n)$ sone le coordinate di $v$ nella base $B_1$.
Ora considero una altra base, $B_2$; di vettori $\hate_1,\hate_2,...,\hate_n$
Un vettore $e_i$ della base $B_1$ avrà coordinate $\mu_i^j$, $_(i,j=1,2,...n)$ nella base $B_2$.
Puoi considerare gli elementi $\mu_i^j$ in una matrice quadrata $M_n$, che sarà
la matrice che ammetta come sue colonne le coordinate dei vettori di $B_1$ nella base $B_2$.
L'espressione $(1$ diviene (scrivendo in notazione indiciale: è da ritenersi la somma sugli indici ripetuti):
$\vecv=\lambda^i\mu_i^j\hate_j$
In notazione matriciale, le nuove coordinate $\vec\hat\lambda$ di $\vecv$ saranno allora:$\vec\hat\lambda=M\vec\lambda$
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