Def. di sottomatrice nel testo di Greco e Valabrega

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
leggevo il testo "Lez. di Geometria Vol. 1 - Algebra Lineare" di Greco e Valabrega", e sono inciampato a pg 90 nella seguente:



ma non riesco a capirla... cortesemente potreste darmi una qualche delucidazione!!

Ringrazio anticipatamente!

Cordiali saluti!

[gugo82]

Fai un disegnino.

[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":Fai un disegnino.

non riesco a capirti... io il disegnino ho provato a farlo ma non capisco che analogia trovo con quanto scritto nel testo!!

Cordiali saluti

[gugo82]

Non vedo cosa ci sia di così strano da capire...
Scegli \(p\) righe a casaccio e \(q\) colonne a casaccio in \(A\) ed evidenziale in qualche modo.
La sottomatrice \(B\) di \(A\), avente dimensioni \(p\times q\), è quella i cui elementi stanno nelle intersezione delle \(p\) righe scelte e delle \(q\) colonne scelte.

Più formalmente, comunque prendi \(p\) indici \(1\leq i_1

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[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":Non vedo cosa ci sia di così strano da capire...
Scegli \(p\) righe a casaccio e \(q\) colonne a casaccio in \(A\) ed evidenziale in qualche modo.
La sottomatrice \(B\) di \(A\), avente dimensioni \(p\times q\), è quella i cui elementi stanno nelle intersezione delle \(p\) righe scelte e delle \(q\) colonne scelte.

Più formalmente, comunque prendi \(p\) indici \(1\leq i_1

ma \( m\times n \) è la dimensione di \( A \) ??

Cordiali saluti

P.S.=Poi, non capisco la notazione funzionale.. potresti illuminarmi!!

[gugo82]

"garnak.olegovitc":[quote="gugo82"]Non vedo cosa ci sia di così strano da capire...
Scegli \(p\) righe a casaccio e \(q\) colonne a casaccio in \(A\) ed evidenziale in qualche modo.
La sottomatrice \(B\) di \(A\), avente dimensioni \(p\times q\), è quella i cui elementi stanno nelle intersezione delle \(p\) righe scelte e delle \(q\) colonne scelte.

Più formalmente, comunque prendi \(p\) indici \(1\leq i_1
ma \( m\times n \) è la dimensione di \( A \) ??


Cordiali saluti

P.S.=Poi, non capisco la notazione funzionale.. potresti illuminarmi!![/quote]
Per risponderti ho bisogno di farti un'altra domanda: che cos'è una matrice?

[garnak.olegovitc1]

Salve gugo82,

"gugo82":
Per risponderti ho bisogno di farti un'altra domanda: che cos'è una matrice?

nel mio corso la matrice mi è stata spiegata come una tabella ordinata di elementi di un campo...

Cordiali saluti

[gugo82]

"garnak.olegovitc":[quote="gugo82"]Per risponderti ho bisogno di farti un'altra domanda: che cos'è una matrice?

nel mio corso la matrice mi è stata spiegata come una tabella ordinata di elementi di un campo...[/quote]
Questa è la definizione naive della faccenda, ma è in fondo quella che consente di fare le operazioni con le matrici in tutta tranquillità.

Se vuoi essere proprio formale (come piace a te), una matrice di dimensioni \(m\) ed \(n\) è una funzione \(A:\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\}\ni (i,j)\to a(i,j)\in \mathbb{K}\); i valori \(a(i,j)\) vengono detti elementi della matrice \(A\).
Da ciò segue che si può usare la classica notazione funzionale per denotare gli elementi di una matrice, al posto della usuale notazione indiciale, i.e. \(a_{i,j}\).

A questo punto, puoi vedere che le sottomatrici di \(A\) non sono altro che restrizioni dell'applicazione \(A\) a parti del prodotto \(\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\}\) strutturate in maniera particolare (cioé, del tipo \(\{i_1,\ldots ,i_q\}\times \{j_1,\ldots ,j_q\}\)). In altre parole, non tutte le restrizioni di \(A\) sono sottomatrici.
Ad esempio, se:
\[
\begin{split}
A: \{1,2\}\times \{1,2\} &\to \mathbb{R}\\
(1,1) &\mapsto \alpha\\
(1,2) &\mapsto \beta\\
(2,1) &\mapsto \gamma\\
(2,2) &\mapsto \delta\; ,
\end{split}
\]
ossia se:
\[
A=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\; ,
\]
allora la restrizione \(B:=A\Big|_{\{(1,1),(2,2)\}}\) non è una sottomatrice di \(A\) (poiché il suo dominio non è nella forma \(\{i_1,\ldots ,i_q\}\times \{j_1,\ldots ,j_q\}\)).

[vict85]

Usando la notazione di gugo82 puoi anche vedere la sottomatrice in questo modo.

Sia \(\displaystyle M \) una matrice \(\displaystyle m\times n \) e siano \(\displaystyle s \le m\) e \(\displaystyle t \le n \) due interi. Una sottomatrice \(\displaystyle S \) di \(\displaystyle M \) di dimensione \(\displaystyle s\times t \) è una matrice tale che \(\displaystyle S(i,j) = M(r(i), c(j)) \) per delle funzioni iniettive \(\displaystyle r\colon \to [m] \) e \(\displaystyle c\colon [t]\to [n] \) dove \(\displaystyle [n] = \{1, \dotsc, n\} \).

[gugo82]

@ vict85: Certo. Ma comunque queste sono perversioni da Algebristi...

[garnak.olegovitc1]

@gugo82... thanks!! Veramente interessante... grazie ancora!
@vict85... idem! Grazie tante!!