Def di polinomi associati: qualcosa mi sfugge...

[manuxy84]

Ciao ragazzi,
leggo questa definizione:

Sia $K$ un campo. Due polinomi $f(X)$ e $g(X) in K[X]$ sono detti associati se esiste una costante $a!=0$ in $K$ tale che $f(X)=g(X) * a$.

Poi ho un esempio che mi dice:
in $ZZ[X]$ i polinomi $g(X)=X-1$ e $f(X)=2X-2$ non sono associati.

Non riesco a capire cosa mi sfugge: secondo me $2X-2=2*(X-1)$ ovvero $f(X)=g(X) * 2$ come da definizione di polinomi associati, ma allora perchè non sono associati?

Grazie

[gugo82]

La definizione di polinomi associati richiede che $a$ sia un elemento invertibile della struttutra algebrica in cui fissi i coefficienti dei polinomi.
Riporto la definizione esatta:

Sia $A$ un anello commutativo unitario e sia $U(A)$ il gruppo degli elementi invertibili rispetto alla moltiplicazione di $A$.
Diremo che $f,g in A[X]$ sono associati se e solo se esiste un $a in U(A)$ tale che $f=a*g$.

Pertanto in $ZZ[X]$ gli unici polinomi associati ad un fissato $f$ sono $f,-f$.

Ovviamente se scegli di prendere i coefficienti in un campo $K$ basta richiedere che $a!=0_k$ (infatti in un campo $K$ si ha $U(K)=K-{0_K}$).

[manuxy84]

Grazie mille, sulla mia definizione non diceva che a doveva essere invertibile, per questo la cosa non mi quadrava... grazie mille.
Ciao