Def. & simili nel caso di spazi vettoriali infinitamente generati
Salve a tutti,
apro il post piú per raccogliere delle chiare e precise definizioni di alcuni concetti, affrontati in un primo corso di algebra lineare, visti peró nel caso "infinito"... Ritrovandomi a studiare questa parte di matematica con gli strumenti di algebra lineare, mi ritrovo una marea di definizioni, per non parlare di certi modi di dire, che mi stanno mandando nel pallone piú totale. Veniamo al dunque, spero tutti hanno almeno studiato algebra lineare nel caso di spazi vettoriali finitamente generati cosí ci possiamo capire almeno un po, prendo uno spazio vettoriale \(V\) (le sue operazioni int. ed est. le indico con \(+\) ed \(\cdot\)) su un Kampo \(K\) (di operazioni \(+_k\) e \(\cdot_k\)), prendiamo un insieme \(A\subseteq V\), si definisce: $$:=\operatorname{Span}(A):=\operatorname{Lin}(A):= \bigcap\{X| A\subseteq X \wedge X \text{ é sottospazio vettoriale di }V\}$$ e fin qui mi sembra ok, molto set-theoretic e nessun problema nella comprensione. Piú in lá mi ritrovo esclamazioni del tipo che $$ é uguale esattamente all insieme
e qui non capisco come si ricava quell insieme, tanto meno in che modo vengono quantificati gli indici, e poi a me sembra di avere finiti sottospazi vettoriali ed esattemente \(r\), magari sbaglio.. ma tutti sti indici e scritture compatte mi fanno solo innervosire. Se magari qualcuno potrebbere scrivere l insieme\(\) nella forma \(\{x|P(X)\}\) gli sarei eternamente grato (nel caso finito come ho imparato dai corsi di algebra lineare é tutto molto banale, poco indici e quattro teoremmelli).. Altra questione, come viene definita la lineare indipendenza? Possibile che tutti la definiscono per un insieme finito di vettori nel modo classico quasi? Come mai? Non esiste una def. generale? Se non esiste, che me ne faccio alla fine di tutte ste cose cosí complesse definite (questa me la tengo per me)?! Io pensai per la lineare inidipendenza una soluzione di questo tipo:
é possibile cosí definire? Se si, é possibile definire lo span ricorrendo anche a qualche def. usuale giá data nel caso finito (magari come equivalenza tra le due definizioni)?... Ringrazio anticipatamente chiunque vorrá rispondere!
Bye Bye
p.s.= ovviamente do per buona la scrittura con quella sommatoria, oramai ne uso cosí tantoe svariate che non ci faccio caso alcuno se "ben definita" é o meno.. eppure sarei curioso di sapere se esiste in questo caso una qualche def. "ben definita" visto che trattiamo il caso "infinito" e certe scritture/somme nella mia testa mi appaiono come prive di senso (come dire "somma infinita")!
apro il post piú per raccogliere delle chiare e precise definizioni di alcuni concetti, affrontati in un primo corso di algebra lineare, visti peró nel caso "infinito"... Ritrovandomi a studiare questa parte di matematica con gli strumenti di algebra lineare, mi ritrovo una marea di definizioni, per non parlare di certi modi di dire, che mi stanno mandando nel pallone piú totale. Veniamo al dunque, spero tutti hanno almeno studiato algebra lineare nel caso di spazi vettoriali finitamente generati cosí ci possiamo capire almeno un po, prendo uno spazio vettoriale \(V\) (le sue operazioni int. ed est. le indico con \(+\) ed \(\cdot\)) su un Kampo \(K\) (di operazioni \(+_k\) e \(\cdot_k\)), prendiamo un insieme \(A\subseteq V\), si definisce: $$:=\operatorname{Span}(A):=\operatorname{Lin}(A):= \bigcap\{X| A\subseteq X \wedge X \text{ é sottospazio vettoriale di }V\}$$ e fin qui mi sembra ok, molto set-theoretic e nessun problema nella comprensione. Piú in lá mi ritrovo esclamazioni del tipo che $$ é uguale esattamente all insieme
e qui non capisco come si ricava quell insieme, tanto meno in che modo vengono quantificati gli indici, e poi a me sembra di avere finiti sottospazi vettoriali ed esattemente \(r\), magari sbaglio.. ma tutti sti indici e scritture compatte mi fanno solo innervosire. Se magari qualcuno potrebbere scrivere l insieme\(\) nella forma \(\{x|P(X)\}\) gli sarei eternamente grato (nel caso finito come ho imparato dai corsi di algebra lineare é tutto molto banale, poco indici e quattro teoremmelli).. Altra questione, come viene definita la lineare indipendenza? Possibile che tutti la definiscono per un insieme finito di vettori nel modo classico quasi? Come mai? Non esiste una def. generale? Se non esiste, che me ne faccio alla fine di tutte ste cose cosí complesse definite (questa me la tengo per me)?! Io pensai per la lineare inidipendenza una soluzione di questo tipo:
\(A\) é linearmente indipendente su \(K\) se ogni suo sottoinsieme finito é linearmente indipendente[nota]nel senso della def. che si da per spazi vettoriali fin. gen.[/nota]
é possibile cosí definire? Se si, é possibile definire lo span ricorrendo anche a qualche def. usuale giá data nel caso finito (magari come equivalenza tra le due definizioni)?... Ringrazio anticipatamente chiunque vorrá rispondere!
Bye Bye
p.s.= ovviamente do per buona la scrittura con quella sommatoria, oramai ne uso cosí tantoe svariate che non ci faccio caso alcuno se "ben definita" é o meno.. eppure sarei curioso di sapere se esiste in questo caso una qualche def. "ben definita" visto che trattiamo il caso "infinito" e certe scritture/somme nella mia testa mi appaiono come prive di senso (come dire "somma infinita")!
Risposte
Il fatto e' che, qualunque cosa succeda, non si possono fare somme infinite su un campo qualsiasi $K$.
Percio' le definizioni devono ricondursi al caso finito. Ogni volta che fai una somma, la fai tra un numero finito di elementi, e questi elementi magari vivono in un insieme qualsiasi.
Anche in dimensione finita, se $A$ e' un insieme infinito, come definisci $\langle A \rangle$? Dovresti ricordare una cosa del genere:
$$
\langle A \rangle = \left\{ v \in V: v = \sum_{i=1}^r \alpha_i a_i \text{ per qualche $a_i \in A$, $\alpha_i \in K$} \right\}
$$
e se $A$ e' finito, si puo' sempre considerare $r$ uguale alla cardinalita' di $A$.
Cosi' come nel caso in dimensione finita, per dimostrare che $\langle A \rangle$ definito in questo modo coincide con la definizione data come intersezione di sottospazi, puoi osservare che questo insieme e' in effetti un sottospazio vettoriale di $V$ (soddisfa la chiusura rispetto alla somma e la chiusura rispetto prodotto per uno scalare).
In quanto alla lineare indipendenza, cosa vuol dire davvero essere linearmente indipendenti? E' una cosa che ha a che fare con combinazioni lineari, e come prima uno vuole limitarsi a combinazioni lineari finite perche' possiamo fare somme solo di un numero finito di oggetti. Detto questo, la definizione che tu dai certamente funziona, ma in dimensione infinita spesso si ha a che fare con degli aspetti topologici dello spazio vettoriale e dare una definizione di 'infiniti vettori linearmente indipendenti' a volte puo' essere fuorviante.
Percio' le definizioni devono ricondursi al caso finito. Ogni volta che fai una somma, la fai tra un numero finito di elementi, e questi elementi magari vivono in un insieme qualsiasi.
Anche in dimensione finita, se $A$ e' un insieme infinito, come definisci $\langle A \rangle$? Dovresti ricordare una cosa del genere:
$$
\langle A \rangle = \left\{ v \in V: v = \sum_{i=1}^r \alpha_i a_i \text{ per qualche $a_i \in A$, $\alpha_i \in K$} \right\}
$$
e se $A$ e' finito, si puo' sempre considerare $r$ uguale alla cardinalita' di $A$.
Cosi' come nel caso in dimensione finita, per dimostrare che $\langle A \rangle$ definito in questo modo coincide con la definizione data come intersezione di sottospazi, puoi osservare che questo insieme e' in effetti un sottospazio vettoriale di $V$ (soddisfa la chiusura rispetto alla somma e la chiusura rispetto prodotto per uno scalare).
In quanto alla lineare indipendenza, cosa vuol dire davvero essere linearmente indipendenti? E' una cosa che ha a che fare con combinazioni lineari, e come prima uno vuole limitarsi a combinazioni lineari finite perche' possiamo fare somme solo di un numero finito di oggetti. Detto questo, la definizione che tu dai certamente funziona, ma in dimensione infinita spesso si ha a che fare con degli aspetti topologici dello spazio vettoriale e dare una definizione di 'infiniti vettori linearmente indipendenti' a volte puo' essere fuorviante.
ciao, ti ringrazio della risposta e capisco quanto dici, in sostanza dobbiamo sempre lavorare, almeno qui e per adesso, con un qualcosa finito (insieme, o sottoinsieme o sottospazio o altro)... in questi giorni ho usato la definizione usuale, quella che avevo postato ad immagine e funziona anche se dovetti rivedere parecchie cose, piú che altro ampliarle, e solo oggi peró penso di avere avuto una svolta nel pensiero in merito con una definizione che ingloba quanto si é fatto per casi finiti in algebra lineare con un tassello in piú, la definizione che vorrei usare sarebbe una la classica per spazi finitamente generati e poi con questa ampliare:
sia \(v:J_n\to V\) ed \(A \subseteq V\) con \(V\) un \(K\)-spazio vettoriale, e \(J_n:=\{1,...,n\} \subseteq \Bbb{N}\), definisco $$ \mathscr{L}(v)=:\mathscr{L}((v_i)_{i\in J_n}):=\{x|\exists \alpha \in K^{J_n}: x =\sum_{i \in J_n} \alpha_i \,v_i \}$$ $$:=\{x| \exists m >0: \exists w \in A^{J_m}: x \in \mathscr{L}((w_i)_{i\in J_m})\}$$
sia \(v:J_n\to V\) ed \(A \subseteq V\) con \(V\) un \(K\)-spazio vettoriale, e \(J_n:=\{1,...,n\} \subseteq \Bbb{N}\), definisco $$ \mathscr{L}(v)=:\mathscr{L}((v_i)_{i\in J_n}):=\{x|\exists \alpha \in K^{J_n}: x =\sum_{i \in J_n} \alpha_i \,v_i \}$$ $$:=\{x| \exists m >0: \exists w \in A^{J_m}: x \in \mathscr{L}((w_i)_{i\in J_m})\}$$
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