Decomposizione ortogonale

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Salve ragazzi, ho un dubbio su una cosa.
Stavo imparando una dimostrazione di un Teorema quando viene supposto che vi siano ${v_1,v_2,...v_h}$ vettori ortonormali.
Abbiamo poi $X in C^n$ ,viene scritto che ogni vettore $x in X$ può essere scritto come:
$x=sum_(h = 1)(x*u_h)(u_h)$$+ z$ ,ma $z$ è uguale a $x-sum_(h = 1)(x*u_h)(u_h)$?
Perchè poi viene detto $z$ è ortogonale a $u_h$ ed essendo $h Grazie per le risposte

[alberto861]

Credo che per $u_i$ tu intenda $v_i$ e $X\subset \mathbb{C}^n$. Per $X$ tu intendi lo spazio lineare generato dagli $u_i$ o tutto?
In ogni caso l'ortogonalità è immediata:
$(u_j,z)=(u_j,x-\sum_i (u_i,x)u_i)=(u_j,x)-\sum_i(u_i,x)(u_j,u_i)=(u_j,x)-(u_j,x)(u_j,u_j)=0$

Segue che $z$ è ortogonale allo spazio generato dagli $u_i$. In particolare i vettori $\{z,u_1,...,u_h\}$ sono indipendenti. Se $z$ fosse zero allora vorrebbe dire che $x$ appartiene al sottospazio lineare generato dagli $u_i$

[edge1]

Si ho sbagliato a scrivere volevo dire $v_i$ ,per $X$ intendo tutto.
Quindi anche seguendo ciò che hai scritto tu $z$ è proprio come l'ho definito io?
Mi pare infatti torni il ragionamento che se $z=0$ allora $X$ è generato da $u_i ... u_h$ ma questo andrebbe contro il fatto che $X$ è di dimensione $n$ mentre gli $u$ sono $h$ con $h Confermi?

[alberto861]

Si. Se $X$ è tutto allora esiste un $x\in X$ per cui lo "$z$" associato è diverso da zero

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Bella!Grazie,non ci speravo quasi più di aver risposta.
Questa parte fa parte della dimostrazione del Teorema Spettrale Reale,lo hai presente?

[alberto861]

E' fondamentale in molti ambiti il teorema spettrale ed ha una vasta gamma di generalizzazioni. Se fai matematica DEVI conoscerlo

[edge1]

Non faccio matematica,ma comunque lo abbiamo fatto.
Puoi dare un occhiata a questa dimostrazione.
https://www.matematicamente.it/forum/dim ... 58202.html
Mi interessa controllare anche l'espressione stessa da qualcuno che fa Matematica .