Decomporre una matrice data una base

[indovina]

Dato $B'$ una base:
$B' = {((1,0,0),(0,0,0)), ((1,7,0),(0,0,0)), ((0,0,1),(0,0,0)), ((0,0,0),(1,0,0)),((0,0,0),(0,1,0)),((0,0,0),(0,0,1))}$

la matrice è:
$((-1,2,6),(3,5,-7))$

vedo se è $L.I$

faccio una combinazione lineare dei de vettori:
$alpha *(-1,2,6) + beta *(3,5,-7)=(0,0,0)$

messo a sistema mi viene che $alpha=0$ e $beta=0$, quindi è L.I

da come ho visto si dovrebbe decomporre come:
$-1*((1,0,0),(0,0,0))+2*((1,7,0),(0,0,0))+6*((0,0,1),(0,0,0))+3*((0,0,0),(1,0,0))+5*((0,0,0),(0,1,0))-7*((0,0,0),(0,0,1))$

va bene o c'è un altro modo di svolgerlo?

[ciampax]

Sinceramente non ho capito cosa vuoi fare. Se $B$ è una base dello spazio delle matrici $M_{2,3}$, allora la matrice che hai scritto deve essere combinazione lineare unica di quelle sei matrici, ergo devi trovare le componenti in quella base (e non mi pare che quelli che hai scritto siano giusti, tra l'altro non dici come li hai trovati). ma la cosa che non capisco è cosa te ne fai di $\alpha,\ beta$.

[weblan]

"clever":Dato $B'$ una base:
$B' = {((1,0,0),(0,0,0)), ((1,7,0),(0,0,0)), ((0,0,1),(0,0,0)), ((0,0,0),(1,0,0)),((0,0,0),(0,1,0)),((0,0,0),(0,0,1))}$

la matrice è:
$((-1,2,6),(3,5,-7))$

Considerata che quella sopra è una base $M_23(RR)$, mi sembra evidente che la matrice scritta dopo sia combinazione lineare degli elementi della base. La verifica è inutile.

vedo se è $L.I$

faccio una combinazione lineare dei de vettori:
$alpha *(-1,2,6) + beta *(3,5,-7)=(0,0,0)$

messo a sistema mi viene che $alpha=0$ e $beta=0$, quindi è L.I

da come ho visto si dovrebbe decomporre come:
$-1*((1,0,0),(0,0,0))+2*((1,7,0),(0,0,0))+6*((0,0,1),(0,0,0))+3*((0,0,0),(1,0,0))+5*((0,0,0),(0,1,0))-7*((0,0,0),(0,0,1))$

va bene o c'è un altro modo di svolgerlo?

Vedere quali sono le componenti di quella matrice nella base assegnata ha senso.
Devi controllare bene le relazioni perchè non sono quelle le componenti.
Devo anche ammettere che una combinazione formale non si deve limitare a una parte di componenti.

[indovina]

"ciampax":Sinceramente non ho capito cosa vuoi fare. Se $B$ è una base dello spazio delle matrici $M_{2,3}$, allora la matrice che hai scritto deve essere combinazione lineare unica di quelle sei matrici, ergo devi trovare le componenti in quella base (e non mi pare che quelli che hai scritto siano giusti, tra l'altro non dici come li hai trovati). ma la cosa che non capisco è cosa te ne fai di $\alpha,\ beta$.

Non riesco a vedere le formule scritte, non so quale problema ci sia.
E' un esercizio un pò strano che ho trovato tra gli appunti, ma lo tralasciai proprio perchè non sapevo come farlo.
La prima cosa che il prof ci chiese di fare era vedere se quella matrice $2,3$ fosso L.I e si fa con la combinazione lineare di $alpha$ e $beta$ e porli al vettore nullo.
Se fossero stati entrambi 0, allora era L.I [in forma spicciola è così]

Decomporlo in quella base nota, significava fare un qualcosa simile a:
$a_(11) *omega_(11) + a_(12) *omega_(12) + .............+ a_(m,n) *omega_(m,n)$

questa sarebbe stata la matrice richiesta...