Dati $v_1, v_2$ trova $v_3$ in modo che siano base di $RR^3$
Ciao, vi voglio fare una domanda..
come dal titolo, l'esercizio dice:
dati $v_1=((1),(3),(4)), v_2=((5),(4),(1))$ si trovi un terzo vettore che con essi dia una base di $RR^3$.
Io ho pensato:
Ogni sapz.vett. ha una base canonica. Con il teorema di completamento di una base posso tranquillamente prendere 1 vettore della base canonica ed attaccarli a $v_1, v_2$. Mi basta controllare che $v_1, v_2$ siano lin. indip. e l'operazione sara' concessa! No?
Quindi scrivo: $A=(((1),(3),(4))((5),(4),(1))((1),(0),(0)))$, poi controllo se i vettori sono lin indipendenti:
Porto a scala $A$ ottenendo una matrice equivalente: $S=(((1),(0),(0))((5),(4),(0))((1),(3),(13/11)))$
Se poi cerco di risolvere $Sx=0$ ottengo che vale solo quando $x=y=z=0$, quindi ${v_1,v_2,e_1}$ sono lin indipendenti, quindi una base di $RR^3$.
Il mio libro affronta il problema così (cioè le schede, non il libro):
costruisce $A=((1,3,4),(5,4,1))$, lo porta a scala: $S=((1,3,4),(0,-11,-19))$ e poi semplicemente aggiunge il terzo vettore che è formato dal secondo, al quale al secondo membro è stato messo uno $0$ al posto di $-11$, ottenendo:
$S_\text(finale)=((1,3,4),(0,-11,-19),(0,0,-19))$
Come mai non si e' ridotto ad una matrice a scala del tipo: $S=((1,3,4),(0,11,19))$? perchè aggiungere dei meno?
e poi perchè ha messo il vettore in orizzontale e non in verticale dentro la matrice?
come dal titolo, l'esercizio dice:
dati $v_1=((1),(3),(4)), v_2=((5),(4),(1))$ si trovi un terzo vettore che con essi dia una base di $RR^3$.
Io ho pensato:
Ogni sapz.vett. ha una base canonica. Con il teorema di completamento di una base posso tranquillamente prendere 1 vettore della base canonica ed attaccarli a $v_1, v_2$. Mi basta controllare che $v_1, v_2$ siano lin. indip. e l'operazione sara' concessa! No?
Quindi scrivo: $A=(((1),(3),(4))((5),(4),(1))((1),(0),(0)))$, poi controllo se i vettori sono lin indipendenti:
Porto a scala $A$ ottenendo una matrice equivalente: $S=(((1),(0),(0))((5),(4),(0))((1),(3),(13/11)))$
Se poi cerco di risolvere $Sx=0$ ottengo che vale solo quando $x=y=z=0$, quindi ${v_1,v_2,e_1}$ sono lin indipendenti, quindi una base di $RR^3$.
Il mio libro affronta il problema così (cioè le schede, non il libro):
costruisce $A=((1,3,4),(5,4,1))$, lo porta a scala: $S=((1,3,4),(0,-11,-19))$ e poi semplicemente aggiunge il terzo vettore che è formato dal secondo, al quale al secondo membro è stato messo uno $0$ al posto di $-11$, ottenendo:
$S_\text(finale)=((1,3,4),(0,-11,-19),(0,0,-19))$
Come mai non si e' ridotto ad una matrice a scala del tipo: $S=((1,3,4),(0,11,19))$? perchè aggiungere dei meno?
e poi perchè ha messo il vettore in orizzontale e non in verticale dentro la matrice?
Risposte
Il tuo procedimento mi pare giusto.
Dipende da come è stata eseguita la riduzione. Non penso sia stata una cosa "ragionata".
Ricorda che una delle "operazioni concesse" del MEG è la moltiplicazione di uno scalare per tutti gli elementi di una riga. Se moltiplichi per $-1$ (che è concesso) tutto torna.
Il fatto che poi aggiunga il terzo vettore dopo aver ridotto la matrice è un modo (credo) per diminuire la possibilità di errori. Quando i vettori sono già ridotti infatti, è più facile individuare quali siano le loro combinazioni lineari e quindi indovinare un vettore che non sia linearmente dipendente.
Tuttavia, il metodo più elegante sarebbe accostare un terzo vettore generico $((a, b, c))^T$ e trovare le condizioni che devono soddisfare $a$,$b$ e $c$ affinché i tre vettori siano linearmente indipendenti. Questo non è obbligatorio, ma molto più fine.
Il metodo di riduzione individua le colonne ma allo stesso tempo anche le righe linearmente indipendenti. Ricorda che $rank(A) = dim(col(A)) = dim(row(A))$. Il rango indica quindi il numero di colonne indipendenti ma anche il numero di righe linearmente indipendenti.
Quindi: per verificare l'indipendenza lineare di un insieme di vettori disporli come righe o come colonne non cambia.
Saluti!
"BoG":
Come mai non si e' ridotto ad una matrice a scala del tipo: $S=((1,3,4),(0,11,19))$? perchè aggiungere dei meno?
Dipende da come è stata eseguita la riduzione. Non penso sia stata una cosa "ragionata".
Ricorda che una delle "operazioni concesse" del MEG è la moltiplicazione di uno scalare per tutti gli elementi di una riga. Se moltiplichi per $-1$ (che è concesso) tutto torna.
Il fatto che poi aggiunga il terzo vettore dopo aver ridotto la matrice è un modo (credo) per diminuire la possibilità di errori. Quando i vettori sono già ridotti infatti, è più facile individuare quali siano le loro combinazioni lineari e quindi indovinare un vettore che non sia linearmente dipendente.
Tuttavia, il metodo più elegante sarebbe accostare un terzo vettore generico $((a, b, c))^T$ e trovare le condizioni che devono soddisfare $a$,$b$ e $c$ affinché i tre vettori siano linearmente indipendenti. Questo non è obbligatorio, ma molto più fine.
"BoG":
e poi perchè ha messo il vettore in orizzontale e non in verticale dentro la matrice?
Il metodo di riduzione individua le colonne ma allo stesso tempo anche le righe linearmente indipendenti. Ricorda che $rank(A) = dim(col(A)) = dim(row(A))$. Il rango indica quindi il numero di colonne indipendenti ma anche il numero di righe linearmente indipendenti.
Quindi: per verificare l'indipendenza lineare di un insieme di vettori disporli come righe o come colonne non cambia.
Saluti!
grazie
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