Dati due piani, trovare l'equazione parametrica della retta che è intersezione di essa
Salve ragazzi, sono una naturalista alle prime armi con l'algebra lineare.
Vorrei sapere
1) come trovare la retta che è intersezione dei due piani:
X1+X2-X3=0
2X1+3X2-X3=1
Ho impostato il sistema rispetto ai due piani e trovo che X1=1-5t X2=t X3=1+7t
e' corretto?
2) Trovare l'equazione parametrica e cartesiana per il piano che è ortogonale alla retta trovata nell'esercizio 1 e passante per Q (-1,2,1)
Ho trovato il vettore parallelo alla retta, ricavata dal prodotto esterno della formula parametrica della retta, e sapendo che le coordinate di tale vettore sono uguale ai coefficenti del piano perpendicolare ad esso, sostituisco tali valori e ottengo la formula del piano, cioè -5x+y+7z+d=0.
impongo il passaggio per il punto Q e trovo d.
Giusto?
3) Trovare l'equazione del piano contenente la retta e passante per il punto Q'(1,2,-1).
Ecco qui buco nero...cioè devo porre t=0 ad esempio e trovare un punto della retta? Ma perchè? E poi come arrivo al risultato?
Grazie a chi avrà la pazienza di salvarmi dal baratro.
Vorrei sapere
1) come trovare la retta che è intersezione dei due piani:
X1+X2-X3=0
2X1+3X2-X3=1
Ho impostato il sistema rispetto ai due piani e trovo che X1=1-5t X2=t X3=1+7t
e' corretto?
2) Trovare l'equazione parametrica e cartesiana per il piano che è ortogonale alla retta trovata nell'esercizio 1 e passante per Q (-1,2,1)
Ho trovato il vettore parallelo alla retta, ricavata dal prodotto esterno della formula parametrica della retta, e sapendo che le coordinate di tale vettore sono uguale ai coefficenti del piano perpendicolare ad esso, sostituisco tali valori e ottengo la formula del piano, cioè -5x+y+7z+d=0.
impongo il passaggio per il punto Q e trovo d.
Giusto?
3) Trovare l'equazione del piano contenente la retta e passante per il punto Q'(1,2,-1).
Ecco qui buco nero...cioè devo porre t=0 ad esempio e trovare un punto della retta? Ma perchè? E poi come arrivo al risultato?
Grazie a chi avrà la pazienza di salvarmi dal baratro.
Risposte
1) No, probabilmente c'è qualche errore di calcolo. La retta dovrebbe essere la seguente:
$ { ( x_1=1-2t ),( x_2=t ),( x_3=1-t ):} $
Per accorgerti dell'errore nella tua equazione prendi ad esempio $ t=1 $. In tal caso ottieni il punto $ (-4,1,8) $ che deve verificare le due equazioni della retta in forma cartesiana. Basta sostituire nella prima e si ottiene che ciò non è vero.
2)Il procedimento è corretto.
3) Si tratta di un esercizio sui fasci di piani (https://it.wikipedia.org/wiki/Fascio_di_piani).
In particolare il fascio proprio di piani è l'insieme dei piani contenenti una data retta.
I piani contenenti la retta data sono dati da:
$ h(x_1+x_2-x_3)+k(2x_1+3x_2-x_3-1)=0 $ al variare di $ h $ e $ k $.
Imponendo il passaggio per Q' otterrai un valore di $ h $ (o equivalentemente di $ k $), quindi sostituendo tale valore otterrai l'equazione del piano desiderata.
PS: inizia a scrivere con le formule.
$ { ( x_1=1-2t ),( x_2=t ),( x_3=1-t ):} $
Per accorgerti dell'errore nella tua equazione prendi ad esempio $ t=1 $. In tal caso ottieni il punto $ (-4,1,8) $ che deve verificare le due equazioni della retta in forma cartesiana. Basta sostituire nella prima e si ottiene che ciò non è vero.
2)Il procedimento è corretto.
3) Si tratta di un esercizio sui fasci di piani (https://it.wikipedia.org/wiki/Fascio_di_piani).
In particolare il fascio proprio di piani è l'insieme dei piani contenenti una data retta.
I piani contenenti la retta data sono dati da:
$ h(x_1+x_2-x_3)+k(2x_1+3x_2-x_3-1)=0 $ al variare di $ h $ e $ k $.
Imponendo il passaggio per Q' otterrai un valore di $ h $ (o equivalentemente di $ k $), quindi sostituendo tale valore otterrai l'equazione del piano desiderata.
PS: inizia a scrivere con le formule.
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