Dati 4 punti nello spazio allineati e contenuti in un piano

[briscola80]

[size=150]COME POSSO SPIEGARLO? dati quattro punti nello spazio in modo tale che ve ne siano più di tre allineati, verificare se esiste un piano che li contiene[/size]

[mistake89]

scusa, se abbiamo quattro punti e desideriamo averne più di tre allineati allora abbiamo $4$ punti allineati, oppure io non ho capito la traccia?

[briscola80]

sì, sono 4 punti allineati devo spiegare geometricamente come un piano li possa contenere. mi puoi aiutare

[mistake89]

geometricamente è molto semplice... anche se dire un piano non è corretto, infatti ci sono infiniti piani che contengono i quattro punti. Se i quattro punti sono allineati per essi passa una retta $r$. Allora considera il fascio di piani di asse $r$ ed otterrai infiniti piani che contengono $r$ e quindi i quattro punti.
Analiticamente se abbiamo una varietà lineare di dimensione $1$ la retta appunto individuata da $A,u$ possiamo considerare il piano individuato da $(A,u,v)$ dove $v$, linearmente indipendente rispetto a $u$ è ottenuto per completamento!

[briscola80]

se invece fossero tre punti allineati ed un punto?

[mistake89]

allora avremmo un solo piano. Preso il fascio di piani di asse la retta $s$ (quella congiungenti i tre punti), imponendo il passaggio per il quarto punto otterremmo il piano desiderato.
Algebricamente consideriamo tre punti affinemente indipendenti, consideriamo allora i vettori $P_0P_1$ ed il punto $P_0$ (che individuano la nostra retta $r$) ed il vettore $P_0P_2$ allora c'è un teorema che ci assicura che esiste un unico piano individuato da $(P_0,)$.