Date tre rette trovare il punto in comune

[_peter_]

ciao ragazzi, volevo chiedervi come faccio a determinare il punto in comune di 3 rette nello spazio?
grazie in anticipo!

[Mino_01]

Pensa che ogni retta è in un fissato riferimento "affine", associata una coppia di equazioni lineari.
Pertanto il problema posto è ricondotto allo studio di un sistema lineare....
Ora dovrebbe essere facile.. no?

Ciao e buono studio
Mino

[_peter_]

si ma ho 2 equazioni per ogni retta, se li metto a sistema avrò 6 equazioni!

[Mino_01]

Hai ragione le rette in uno spazio a 3 dimensioni sono date da 2 equazioni lineare ciascuna.
(correggo il mio errore)

Comunque eventuali punti in comune sono le soluzione del sistema che hai ottenuto.
Allora se applicassi l' algoritmo di Gauss sulla matrice completa, puoi risolvere il problema in quanto il nuovo sistema
è equivalente a quello di partenza cioè hanno le stesse soluzioni.

Ciao
Mino

[_peter_]

cioè dovrei trovare i parametri direttori delle 3 rette e metterli nella matrice?

[Mino_01]

Ogni sistema lineare è rappresentato dalla matrice completa: la matrice dei coefficienti con la colonna dei termini noti.
Nel tuo caso con 3 rette in uno spazio a 3 dimensioni hai una matrice con 6 righe e 4 colonne. Le righe i coefficienti delle incognite, ultima colonna i termini noti.

Con il procedimento di eliminazione di Gauss applicando cioè operazioni elementari sulle righe, riduci certamente la matrice a gradini e quindi determini eventuali punti comuni alle rette.

Che si possa certamente accorciale la matrice lo deduci dal fatto che il rango per righe di una matrice coincide con il rango delle colonne e allora hai come minino 2 equazioni in più.

[_peter_]

le 3 equazioni delle rette sono
$ { ( x=λ-1 ),( 2λ+1 ),( 3 ):} $
$ { ( x=2 ),( y=λ+6 ),( z=-λ+4 ):} $
$ { ( 2x+y+z=0 ),( 5x-y-3z=0):} $

quindi dovrei trasformare le prime 2 rette in forma cartesiana e mettere tutto in una matrice?