Dare la definizione di dipendenza e indipendenza, sottospaz
1) Siano $v_1,v_2,...,v_h \in C^n$ dare per essi la definizione di dipendenza e indipendenza lineare. Dare la definizione di sottospazio e di sottospazio generato da $v_1,v_2,...,v_h$
Da quello che ho capito $C^n$ è una n-upla di numeri complessi, cioè credo un insieme ordinato di numeri complessi.
$v_1,v_2,...,v_h$ sono linearmente indipendenti se e solo se $a_1 \v_1 + a_2 \v_2 + ...a_h \v_h = 0$ ammette come soluzione $a_1, a_2,...,a_h = 0$ (come unica soluzione? se ce ne fossero due?)
Se $a_1 \ne 0$ ad esempio che succede?
Mentre sono linearmente dipendenti quando? solo quando $a_1, a_2,...,a_h \ne 0$ (non ho capito se tutti devono essere zero...)
$C^n$ è uno spazio vettoriale, sarebbe una struttura algebrica, formata dall'insieme di vettori dotati delle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare. Si definisce così uno spazio vettoriale?
Un sottoinsieme $W \subset C^n$ (perchè non $W \subseteq C^n ? $) è un sottospazio vettoriale se esso è non vuoto (perchè?) ed è chiuso rispetto alle operazioni prima citate. Questo sottoinsieme $W$ contiene infinite combinazione lineari dei vettori? Quindi $W = Span (v_1,v_2,...,v_h) = {w \in C^n : w = a_1 \v_1, a_2 \v_2+...+a_h \v_h}$
Però che senso ha parlare di $w_1$ e $w_2$ ad esempio? cosa sono? $w_1 = a_1 \ v_1$ e $w_2 = a_2 \v_2$ ? vengono usati per dire che $w_1 + w_2 \in W$ eccp perchè li ho citati!
Grazie mille
Da quello che ho capito $C^n$ è una n-upla di numeri complessi, cioè credo un insieme ordinato di numeri complessi.
$v_1,v_2,...,v_h$ sono linearmente indipendenti se e solo se $a_1 \v_1 + a_2 \v_2 + ...a_h \v_h = 0$ ammette come soluzione $a_1, a_2,...,a_h = 0$ (come unica soluzione? se ce ne fossero due?)
Se $a_1 \ne 0$ ad esempio che succede?
Mentre sono linearmente dipendenti quando? solo quando $a_1, a_2,...,a_h \ne 0$ (non ho capito se tutti devono essere zero...)
$C^n$ è uno spazio vettoriale, sarebbe una struttura algebrica, formata dall'insieme di vettori dotati delle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare. Si definisce così uno spazio vettoriale?
Un sottoinsieme $W \subset C^n$ (perchè non $W \subseteq C^n ? $) è un sottospazio vettoriale se esso è non vuoto (perchè?) ed è chiuso rispetto alle operazioni prima citate. Questo sottoinsieme $W$ contiene infinite combinazione lineari dei vettori? Quindi $W = Span (v_1,v_2,...,v_h) = {w \in C^n : w = a_1 \v_1, a_2 \v_2+...+a_h \v_h}$
Però che senso ha parlare di $w_1$ e $w_2$ ad esempio? cosa sono? $w_1 = a_1 \ v_1$ e $w_2 = a_2 \v_2$ ? vengono usati per dire che $w_1 + w_2 \in W$ eccp perchè li ho citati!
Grazie mille
Risposte
Chiariamo un po' di punti:
a. $mathbb{C}^n$ è un insieme di n-uple di numeri complessi, esattamente analogo a $\mathbb{R}^n$.
b. Nella definizione di indipendenza lineare $0=a_1=...=a_h$ deve essere l'unica soluzione.
c. Dei vettori sono linearmente dipendenti se (b) non accade, ovvero almeno uno degli $a_j$ è non nullo. (almeno uno, non tutti)
d. Per la definizione di spazio vettoriale basta aprire qualunque libro di geometria.
e. La definizione di sottospazio richiede che $W$ sia non vuoto perché qualunque spazio vettoriale contiene almeno il vettore nullo, per definizione.
Non comprendo l'ultima domanda.
Ciao,
Paola
a. $mathbb{C}^n$ è un insieme di n-uple di numeri complessi, esattamente analogo a $\mathbb{R}^n$.
b. Nella definizione di indipendenza lineare $0=a_1=...=a_h$ deve essere l'unica soluzione.
c. Dei vettori sono linearmente dipendenti se (b) non accade, ovvero almeno uno degli $a_j$ è non nullo. (almeno uno, non tutti)
d. Per la definizione di spazio vettoriale basta aprire qualunque libro di geometria.
e. La definizione di sottospazio richiede che $W$ sia non vuoto perché qualunque spazio vettoriale contiene almeno il vettore nullo, per definizione.
Non comprendo l'ultima domanda.
Ciao,
Paola
Paola se $w = a_1 \v_1 + a_2 1v_2 + ...+ a_k \v_k \in C^n$ cioè combinazione lineare di vettori, $w_1$ è semplicemente uguale a $a_1 \ v_1$? (perdonami per la domanda sciocca )
)"prime_number":
Non comprendo l'ultima domanda.
Paola
Ma no, $w_1$ sarà un generico vettore di $W$ ovvero $c_1 v_1 +...+c_h v_h$ per certe costanti $c_j$.
Paola
Paola
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