Da versore tangente a versore normale principale

[freddofede]

Dato $e_{1}(t)$ il versore tangente a una curva parametrica $v$, come si ricava la formula $e_{2}(t)=\frac{\ddot{v}-(e_{1}\ddot{v})e_{1}}{|\ddot{v}-(e_{1}\ddot{v})e_{1}|}$ per il versore normale principale $e_{2}(t)$?

[Alexp1]

Beh, per la costruzione, un tentativo potrebbe essere quello di considerare che la normale principale è quella giacente sul piano osculatore alla curva...quindi da esso, considerando anche il versore tangente, potresti "cercare" di ricavarti la normale principale.

[freddofede]

Non si tratta di un esercizio che devo fare, bensì di una dimostrazione che viene data per scontata nel corso, e che per me invece è tutt'altro. Non ho tutto il tempo di studiare come arrivarci da solo: puoi darmi la soluzione?

[Alexp1]

Allora,
il versore normale principale $e_2$ secondo le formule di Frenet, che penso conoscerai, è dato da:

$e_2=e_3 X e_1$, dove con $e_3$ e $e_1$, indico rispettivamente il versore binormale ed il versore tangente e con $X$ intendo il prodotto vettoriale.

Il vettore normale lo si può scrivere come:

$n=bXe_1$ (1), ora considerando la generica curva $v$, il vettore binormale $b$ lo si può scrivere anche come:

$b=e_1Xv''$ (2)

Sostituendo la (2) nella (1) si ottiene:

$n=(e_1 X v'')X e_1$

considerando ora che il prodotto vettoriale $(a X b) X c$ lo si può scrivere come $b(ac)-a(bc)$

si ha:

$n=(v''(e_1*e_1)-e_1*(v''*e_1))$ ed essendo che $e_1$ è un versore:

$n=(v''-(e_1*v'')*e_1)$

Da qui si recupera il versore nomale $e_2$ facendo:

$n=(v''-(e_1*v'')*e_1)/||v''-(e_1*v'')*e_1||$


Ciao!