Da sottospazio vet. a eq. cartesiane
Salve a tutti, questa è la prima discussione che apro ma già da parecchio consulto il forum e devo dire che è veramente un ottima risorsa 
Scrivo per pregarvi di aiutarmi a capire un esercizio di matematica discreta. La consegna chiede di trovare Base ed Equazioni cartesiane di Wk al variare di k.
Wk = Span{(2,1,0,1),(1,1,1,1),(k,1,0,-1)}
per determinare basi e eq. Cartesiane di Wk io metterei in forma matriciale i vettori di cui faccio lo Span e Con Gauss proverei a vedere cosa succede al rango della matrice al variare di k.
$ ((2,1,0,1),(1,1,1,1),(k,1,0,-1)) $
che ridotta in scala se non ho fatto errori viene:
$ ((1,1,1,1),(0,1,2,1),(0,0,k-2,-2)) $
da qui deduco che il rango è massimo per qualunque valore di k e che i vettori di cui faccio lo span possono benissimo essere basi di Wk (come anche le righe della matrice appena ottenuta)
ora... per trovare le equazioni cartesiane non ho ben capito come si fa, la soluzione ufficiale del esercizio fa così: (come base ha usato le righe della matrice sopra)
$ ((1,0,0,x),(1,1,0,y),(1,2,k-2,z),(1,1,-2,t)) $
ha calcolato il determinante moltiplicando gli elementi della diagonale dopo averla messa in scala, dovrebbe venire:
2x − (k + 2)y + 2z + (k − 2)t = 0
e questa dovrebbe essere l'equazione cartesiana.
Mi piacerebbe capire qual'è (se c'è) il metodo standard per il calcolo delle equazioni cartesiane, avendo come “input” i vettori della base di un sottospazio vettoriale.
In particolare vorrei capire perché si aggiungono alla matrice quelle quattro variabili, cosa rappresentano, con che criterio vanno messe e dove e perché se ne calcola il determinante. Così da poter capire cosa fare su una matrice di dimensioni differenti.
Ho intuito che un concetto importante legato a questo discorso è la frase “ogni sottospazio vettoriale è lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo” ma non riesco bene a collegare il tutto.
PS, ho letto il regolamento e spero di non averne infranto nessuna parte, ho cercato discussioni simili ma quel poco che ho trovato era troppo "diverso" e al mio scarso livello non sono stato in grado di trarne nulla
PS2, sto preparando un esame e vorrei sapere se posso fare altre domande come quella di questo post (magari in questa stessa discussione essendo l'argomento simile?)
in ogni caso grazie per l'attenzione
[mod="Martino"]Spostato nella sezione giusta. Per favore fai più attenzione in futuro
[/mod]
Scrivo per pregarvi di aiutarmi a capire un esercizio di matematica discreta. La consegna chiede di trovare Base ed Equazioni cartesiane di Wk al variare di k.
Wk = Span{(2,1,0,1),(1,1,1,1),(k,1,0,-1)}
per determinare basi e eq. Cartesiane di Wk io metterei in forma matriciale i vettori di cui faccio lo Span e Con Gauss proverei a vedere cosa succede al rango della matrice al variare di k.
$ ((2,1,0,1),(1,1,1,1),(k,1,0,-1)) $
che ridotta in scala se non ho fatto errori viene:
$ ((1,1,1,1),(0,1,2,1),(0,0,k-2,-2)) $
da qui deduco che il rango è massimo per qualunque valore di k e che i vettori di cui faccio lo span possono benissimo essere basi di Wk (come anche le righe della matrice appena ottenuta)
ora... per trovare le equazioni cartesiane non ho ben capito come si fa, la soluzione ufficiale del esercizio fa così: (come base ha usato le righe della matrice sopra)
$ ((1,0,0,x),(1,1,0,y),(1,2,k-2,z),(1,1,-2,t)) $
ha calcolato il determinante moltiplicando gli elementi della diagonale dopo averla messa in scala, dovrebbe venire:
2x − (k + 2)y + 2z + (k − 2)t = 0
e questa dovrebbe essere l'equazione cartesiana.
Mi piacerebbe capire qual'è (se c'è) il metodo standard per il calcolo delle equazioni cartesiane, avendo come “input” i vettori della base di un sottospazio vettoriale.
In particolare vorrei capire perché si aggiungono alla matrice quelle quattro variabili, cosa rappresentano, con che criterio vanno messe e dove e perché se ne calcola il determinante. Così da poter capire cosa fare su una matrice di dimensioni differenti.
Ho intuito che un concetto importante legato a questo discorso è la frase “ogni sottospazio vettoriale è lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo” ma non riesco bene a collegare il tutto.
PS, ho letto il regolamento e spero di non averne infranto nessuna parte, ho cercato discussioni simili ma quel poco che ho trovato era troppo "diverso" e al mio scarso livello non sono stato in grado di trarne nulla
PS2, sto preparando un esame e vorrei sapere se posso fare altre domande come quella di questo post (magari in questa stessa discussione essendo l'argomento simile?)
in ogni caso grazie per l'attenzione
[mod="Martino"]Spostato nella sezione giusta. Per favore fai più attenzione in futuro
[/mod]
Risposte
ops, essendo il corso che sto facendo "Matematica discreta" ho postato dove ho letto appunto matematica discreta
scusate
scusate
Caro Flagg, si aggiunge la colonna delle incognite(nel tuo caso) alla matrice costituita dagli elementi della base di Wk. Quella colonna rappresenta rappresenta le coordinate del vettore generico (x,y,z,t) di Wk, messo a matrice. Quindi, dobbiamo trovare le condizioni cui questo generico vettore deve soddisfare per stare in Wk. Per questa ragione, poi ci calcoliamo il determinante della matrice. La stessa cosa si ottiene se si mettono i vettori per righe e aggiungendo la riga del vettore generico (x,y,z,t).
Puoi usare sempre questo procedimento per determinare le equazioni cartesiane del tuo sottospazio. Questo è un metodo standard per trovare le equazioni a partire dalla base.
Attenzione però, devi sempre verificare che i vettori che generano il tuo sottospazio siano linearmente indipendenti, e quindi, come hai fatto giustamente, verificare che la matrice di questi vettori abbia rango massimo.
Inoltre, in generale il numero di equazioni cartesiane del sottospazio è dato da $dimV - dimW$ dove $V$ è il K-spazio vettoriale in cui è contenuto il sottospazio W. Sapendo che la dimensione del sottospazio coincide con il numero degli elementi di ogni base di W, puoi sapere da quante equazioni cartesiane W è descritto. Nel tuo caso, ad esempio, avendo a che fare con quaterne, e quindi in $R^4$, e sapendo che hai 3 vettori l.i. nella base, sai che W ha una sola equazione cartesiana e quindi puoi calcolarla col metodo già citato.
Se non sei in grado di capire quante equazioni cartesiane ha il tuo sottospazio o preferisci essere più sicuro, puoi scrivere sotto forma di matrice i tuoi vettori e una riga delle incognite. Riduci questa matrice, fino ad avere l'ultima riga nulla.
Ad esempio: Consideriamo in $R^4$ il sottospazio $V=Span(1,1,2,1),(2,2,1,2)$ e vogliamo trovare le equazioni cartesiane.
Considero la matrice: $((1,1,2,1),(2,2,1,2),(x,y,z,t))$
Riduco per righe R2 ed R3 con: R3 -xR1 e R2 -2R1
Riduco di nuovo: R3 + ((z-2x)/3)R2
La matrice sarà: $((1,1,2,1),(0,0,-3,0),(0,y-x,0,t-x))$
Quindi le equazioni saranno $y-x=0$ e $t-x=0$.
Il vettore generico di V sarà (x,x,z,x). Tutto chiaro?
Puoi usare sempre questo procedimento per determinare le equazioni cartesiane del tuo sottospazio. Questo è un metodo standard per trovare le equazioni a partire dalla base.
Attenzione però, devi sempre verificare che i vettori che generano il tuo sottospazio siano linearmente indipendenti, e quindi, come hai fatto giustamente, verificare che la matrice di questi vettori abbia rango massimo.
Inoltre, in generale il numero di equazioni cartesiane del sottospazio è dato da $dimV - dimW$ dove $V$ è il K-spazio vettoriale in cui è contenuto il sottospazio W. Sapendo che la dimensione del sottospazio coincide con il numero degli elementi di ogni base di W, puoi sapere da quante equazioni cartesiane W è descritto. Nel tuo caso, ad esempio, avendo a che fare con quaterne, e quindi in $R^4$, e sapendo che hai 3 vettori l.i. nella base, sai che W ha una sola equazione cartesiana e quindi puoi calcolarla col metodo già citato.
Se non sei in grado di capire quante equazioni cartesiane ha il tuo sottospazio o preferisci essere più sicuro, puoi scrivere sotto forma di matrice i tuoi vettori e una riga delle incognite. Riduci questa matrice, fino ad avere l'ultima riga nulla.
Ad esempio: Consideriamo in $R^4$ il sottospazio $V=Span(1,1,2,1),(2,2,1,2)$ e vogliamo trovare le equazioni cartesiane.
Considero la matrice: $((1,1,2,1),(2,2,1,2),(x,y,z,t))$
Riduco per righe R2 ed R3 con: R3 -xR1 e R2 -2R1
Riduco di nuovo: R3 + ((z-2x)/3)R2
La matrice sarà: $((1,1,2,1),(0,0,-3,0),(0,y-x,0,t-x))$
Quindi le equazioni saranno $y-x=0$ e $t-x=0$.
Il vettore generico di V sarà (x,x,z,x). Tutto chiaro?
Grazie mille! ho capito quasi tutto solo una piccola informazione, dove dici:
Se le scrivo in colonna è indifferente? usando i tuoi dati ottengo la matrice:
$ ((1,2,x),(0,-3,z-2x),(0,0,y-x),(0,0,t-x)) $
le ultime due righe contengono il tuo risultato, è un caso?
OT, avendo qualche altra domanda sempre relativa agli spazi vettoriali (che non corrisponde più al titolo del post), devo aprire una nuova discussione?
purtroppo abbiamo un professore talmente preparato che da per scontato la metà dei passaggi nelle spiegazioni
solo una piccola informazione, dove dici:puoi scrivere sotto forma di matrice i tuoi vettori e una riga delle incognite. Riduci questa matrice, fino ad avere l'ultima riga nulla.
Se le scrivo in colonna è indifferente? usando i tuoi dati ottengo la matrice:
$ ((1,2,x),(0,-3,z-2x),(0,0,y-x),(0,0,t-x)) $
le ultime due righe contengono il tuo risultato, è un caso?
OT, avendo qualche altra domanda sempre relativa agli spazi vettoriali (che non corrisponde più al titolo del post), devo aprire una nuova discussione?
purtroppo abbiamo un professore talmente preparato che da per scontato la metà dei passaggi nelle spiegazioni
Figurati!
Se le scrivi in colonna è indifferente, perchè stai riducendo per colonne, anzichè per righe come ho scritto nell'esempio. E' sempre un metodo di riduzione che porta allo stesso risultato. Credo che questi metodi siano abbastanza soggettivi, cioè ti trovi meglio con uno che con l'altro, perchè ti sei abituato e riesci a fare meglio i calcoli con un metodo, rispetto ad un altro.
Penso non ci siano problemi a scrivere altre domande in uno stesso topic. Al massimo puoi cambiare solo l'oggetto del tuo prossimo messaggio. Perciò, chiedi pure!
Se le scrivi in colonna è indifferente, perchè stai riducendo per colonne, anzichè per righe come ho scritto nell'esempio. E' sempre un metodo di riduzione che porta allo stesso risultato. Credo che questi metodi siano abbastanza soggettivi, cioè ti trovi meglio con uno che con l'altro, perchè ti sei abituato e riesci a fare meglio i calcoli con un metodo, rispetto ad un altro.
Penso non ci siano problemi a scrivere altre domande in uno stesso topic. Al massimo puoi cambiare solo l'oggetto del tuo prossimo messaggio. Perciò, chiedi pure!
Provando a svolgere esercizi di vecchi compiti siamo incappati in diversi problemi, li elenco:
1) Vedo che nelle soluzioni a volte il professore calcola le equazioni cartesiane di una matrice M, semplicemente scrivendo il sistema equivalente, esempio:
avendo M= $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
dice che le equazioni cartesiane sono: $ {(2x+4y = 0),(-2y+2z = 0):} $
cioè considera (o almeno così mi sembra) la prima colonna come i coefficienti della x, la seconda y e la terza z
sapete dirmi qualcosa di questo metodo? ho interpretato bene o è un caso? perché ho provato ad applicarlo a matrici più "complicate" e vengono risultati diversi da quelli che ottengo coi metodi dei post sopra
2) Perché una funzione f sia diagonalizzabile, è necessario che le molteplicità algebriche e geometriche dei rispettivi autovalori siano uguali, o basta che la somma di tutte le molteplicità algebriche sia uguale alla somma di tutte le molteplicità geometriche?
3) Per verificare la diagonalizzabilità mi servono le molteplicità alg. e geom., l'algebrica la deduco dal polinomio caratteristico e la geometrica dalla dimensione del autospazio generato dal rispettivo autovalore giusto? Per trovare il polinomio caratteristico devo calcolare il determinante di $ (M - lambda*I) $ giusto? dove I = matrice identità.
Il mio dubbio è: se la matrice non è una banale 3x3 sulla quale me la cavo con Sarrus, devo prima ottenere la matrice $ (M - lambda*I) $ poi metterla in scala per poter ottenere il det. moltiplicando gli elementi della diagonale; o devo prima metterla in scala poi fare il determinante di $ (S - lambda*I) $ (S= M in scala)?
Chiedo perché poi, quando devo scrivere gli autospazi, lo faccio sostituendo di volta in volta i miei autovalori a $ lambda $, ottenendo così una nuova matrice da cui trovare eq. cartesiane e basi. E il risultato è diverso
esempio:
ho la matrice $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,-2,1)) $
l'ho messa in scala (R3-R2*2): $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,0,1)) $
ho fatto $ S-lambda*I $: $ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,0,1-lambda)) $
il cui determinante è $ (1-lambda)^2*(-1-lambda) $
da qui deduco che gli autovalori sono: 1 (molt. alg. 2) e -1 (molt. alg 1)
l'autospazio relativo al autovalore -1 è: $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,0,2)) $
...
ecco, se invece avessi fatto $ M-lambda*I $ cioè non l'avessi messa subito in scala:
$ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,-2,1-lambda)) $
ora che vado a sostituire "-1" alla $ lambda $ ottengo
$ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
qual'è il modo corretto?
4) quarta ed ultima domanda nel operazione di cambio di base... avendo questo:
(non ho trovato come esprimere la formula in MathML, cerco di renderla più comprensibile possibile)
M(&,b)(f) = Matrice M associata alla funzione f, la cui base di partenza è B e quella di arrivo è la canonica
M(&,b)(f) = M(&,b)(id) * M(&,&)(f) <---- ammesso che questa formula sia vera, vorrei chiedere se la matrice subito a destra del = deve essere per forza associata alla funzione identità per poter "funzionare"
Bene, finito, scusate per il papiro e grazie ancora per l'attenzione
1) Vedo che nelle soluzioni a volte il professore calcola le equazioni cartesiane di una matrice M, semplicemente scrivendo il sistema equivalente, esempio:
avendo M= $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
dice che le equazioni cartesiane sono: $ {(2x+4y = 0),(-2y+2z = 0):} $
cioè considera (o almeno così mi sembra) la prima colonna come i coefficienti della x, la seconda y e la terza z
sapete dirmi qualcosa di questo metodo? ho interpretato bene o è un caso? perché ho provato ad applicarlo a matrici più "complicate" e vengono risultati diversi da quelli che ottengo coi metodi dei post sopra
2) Perché una funzione f sia diagonalizzabile, è necessario che le molteplicità algebriche e geometriche dei rispettivi autovalori siano uguali, o basta che la somma di tutte le molteplicità algebriche sia uguale alla somma di tutte le molteplicità geometriche?
3) Per verificare la diagonalizzabilità mi servono le molteplicità alg. e geom., l'algebrica la deduco dal polinomio caratteristico e la geometrica dalla dimensione del autospazio generato dal rispettivo autovalore giusto? Per trovare il polinomio caratteristico devo calcolare il determinante di $ (M - lambda*I) $ giusto? dove I = matrice identità.
Il mio dubbio è: se la matrice non è una banale 3x3 sulla quale me la cavo con Sarrus, devo prima ottenere la matrice $ (M - lambda*I) $ poi metterla in scala per poter ottenere il det. moltiplicando gli elementi della diagonale; o devo prima metterla in scala poi fare il determinante di $ (S - lambda*I) $ (S= M in scala)?
Chiedo perché poi, quando devo scrivere gli autospazi, lo faccio sostituendo di volta in volta i miei autovalori a $ lambda $, ottenendo così una nuova matrice da cui trovare eq. cartesiane e basi. E il risultato è diverso
esempio:
ho la matrice $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,-2,1)) $
l'ho messa in scala (R3-R2*2): $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,0,1)) $
ho fatto $ S-lambda*I $: $ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,0,1-lambda)) $
il cui determinante è $ (1-lambda)^2*(-1-lambda) $
da qui deduco che gli autovalori sono: 1 (molt. alg. 2) e -1 (molt. alg 1)
l'autospazio relativo al autovalore -1 è: $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,0,2)) $
...
ecco, se invece avessi fatto $ M-lambda*I $ cioè non l'avessi messa subito in scala:
$ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,-2,1-lambda)) $
ora che vado a sostituire "-1" alla $ lambda $ ottengo
$ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
qual'è il modo corretto?
4) quarta ed ultima domanda
nel operazione di cambio di base... avendo questo:(non ho trovato come esprimere la formula in MathML, cerco di renderla più comprensibile possibile)
M(&,b)(f) = Matrice M associata alla funzione f, la cui base di partenza è B e quella di arrivo è la canonica
M(&,b)(f) = M(&,b)(id) * M(&,&)(f) <---- ammesso che questa formula sia vera, vorrei chiedere se la matrice subito a destra del = deve essere per forza associata alla funzione identità per poter "funzionare"
Bene, finito, scusate per il papiro e grazie ancora per l'attenzione
Eccomi qua, scusa ma sono stato un pò impegnato.
Il tuo ragionamento è esatto, soltanto che il tuo professore ha semplicemente moltiplicato la matrice M per la colonna $(x,y,z)$, cioè si è trovato il vettore generico associato alla M. Attenzione: così non trovi le equazioni cartesiane che abbiamo trovato prima nel post precedente.
E' necessario che le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori, a cui sono associati, coincidano affinchè l'applicazione f sia diagonalizzabile.
Esatto. La molt. algebrica dal polinomio caratteristico, quella geometrica dalla dimensione dell'autospazio associato.
Usa il normale metodo del polinomio caratteristico per determinarti gli autovalori. Poi, che tu riduca o no in scala la matrice associata all'autospazio non cambia nulla. Osserva le due matrici che hai scritto. Sia nella prima che nella seconda, che hai ridotto, il rango è sempre 1.
Inoltre, quando hai a che fare con un autovalore la cui molteplicità algebrica è pari a 1, puoi stare sicuro che anche quella geometrica è uguale a 1. Quindi puoi già dire che per quell'autovalore f è semplice.
Nella tua matrice M, forse c'è un errore. La base canonica è di partenza e b quella di arrivo, perchè stai associando la base canonica al dominio e la b al codominio.
Non ho capito bene la tua ultima formula. M(&,b)(id), a quanto ho capito, deve essere la matrice del cambio base o matrice di passaggio. Questa matrice,invertibile, è associata all'applicazione identica perchè si stanno prendendo due basi diverse associate allo stesso spazio.
Sei sicuro?
"Flagg":
Provando a svolgere esercizi di vecchi compiti siamo incappati in diversi problemi, li elenco:
1) Vedo che nelle soluzioni a volte il professore calcola le equazioni cartesiane di una matrice M, semplicemente scrivendo il sistema equivalente, esempio:
avendo M= $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
dice che le equazioni cartesiane sono: $ {(2x+4y = 0),(-2y+2z = 0):} $
cioè considera (o almeno così mi sembra) la prima colonna come i coefficienti della x, la seconda y e la terza z
sapete dirmi qualcosa di questo metodo? ho interpretato bene o è un caso? perché ho provato ad applicarlo a matrici più "complicate" e vengono risultati diversi da quelli che ottengo coi metodi dei post sopra
Il tuo ragionamento è esatto, soltanto che il tuo professore ha semplicemente moltiplicato la matrice M per la colonna $(x,y,z)$, cioè si è trovato il vettore generico associato alla M. Attenzione: così non trovi le equazioni cartesiane che abbiamo trovato prima nel post precedente.
2) Perché una funzione f sia diagonalizzabile, è necessario che le molteplicità algebriche e geometriche dei rispettivi autovalori siano uguali, o basta che la somma di tutte le molteplicità algebriche sia uguale alla somma di tutte le molteplicità geometriche?
E' necessario che le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori, a cui sono associati, coincidano affinchè l'applicazione f sia diagonalizzabile.
3) Per verificare la diagonalizzabilità mi servono le molteplicità alg. e geom., l'algebrica la deduco dal polinomio caratteristico e la geometrica dalla dimensione del autospazio generato dal rispettivo autovalore giusto? Per trovare il polinomio caratteristico devo calcolare il determinante di $ (M - lambda*I) $ giusto? dove I = matrice identità.
Il mio dubbio è: se la matrice non è una banale 3x3 sulla quale me la cavo con Sarrus, devo prima ottenere la matrice $ (M - lambda*I) $ poi metterla in scala per poter ottenere il det. moltiplicando gli elementi della diagonale; o devo prima metterla in scala poi fare il determinante di $ (S - lambda*I) $ (S= M in scala)?
Chiedo perché poi, quando devo scrivere gli autospazi, lo faccio sostituendo di volta in volta i miei autovalori a $ lambda $, ottenendo così una nuova matrice da cui trovare eq. cartesiane e basi. E il risultato è diverso
esempio:
ho la matrice $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,-2,1)) $
l'ho messa in scala (R3-R2*2): $ ((1,4,0),(0,-1,0),(0,0,1)) $
ho fatto $ S-lambda*I $: $ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,0,1-lambda)) $
il cui determinante è $ (1-lambda)^2*(-1-lambda) $
da qui deduco che gli autovalori sono: 1 (molt. alg. 2) e -1 (molt. alg 1)
l'autospazio relativo al autovalore -1 è: $ ((2,4,0),(0,0,0),(0,0,2)) $
...
ecco, se invece avessi fatto $ M-lambda*I $ cioè non l'avessi messa subito in scala:
$ ((1-lambda,4,0),(0,-1-lambda,0),(0,-2,1-lambda)) $
ora che vado a sostituire "-1" alla $ lambda $ ottengo
$ ((2,4,0),(0,0,0),(0,-2,2)) $
qual'è il modo corretto?
Esatto. La molt. algebrica dal polinomio caratteristico, quella geometrica dalla dimensione dell'autospazio associato.
Usa il normale metodo del polinomio caratteristico per determinarti gli autovalori. Poi, che tu riduca o no in scala la matrice associata all'autospazio non cambia nulla. Osserva le due matrici che hai scritto. Sia nella prima che nella seconda, che hai ridotto, il rango è sempre 1.
Inoltre, quando hai a che fare con un autovalore la cui molteplicità algebrica è pari a 1, puoi stare sicuro che anche quella geometrica è uguale a 1. Quindi puoi già dire che per quell'autovalore f è semplice.
4) quarta ed ultima domanda
(non ho trovato come esprimere la formula in MathML, cerco di renderla più comprensibile possibile)
M(&,b)(f) = Matrice M associata alla funzione f, la cui base di partenza è B e quella di arrivo è la canonica
M(&,b)(f) = M(&,b)(id) * M(&,&)(f) <---- ammesso che questa formula sia vera, vorrei chiedere se la matrice subito a destra del = deve essere per forza associata alla funzione identità per poter "funzionare"
Bene, finito, scusate per il papiro e grazie ancora per l'attenzione
Nella tua matrice M, forse c'è un errore. La base canonica è di partenza e b quella di arrivo, perchè stai associando la base canonica al dominio e la b al codominio.
Non ho capito bene la tua ultima formula. M(&,b)(id), a quanto ho capito, deve essere la matrice del cambio base o matrice di passaggio. Questa matrice,invertibile, è associata all'applicazione identica perchè si stanno prendendo due basi diverse associate allo stesso spazio.
Sei sicuro?
ciao! ancora grazie per i chiarimenti 
Lascia pur perdere la domanda 4, oggi mi son fatto diversi esercizi e ho capito.
dove dici:
come sono diverse? uffa e io che pensavo di aver archiviato l'argomento come "capito"
potresti spiegarmi la differenza? vedendo la consegna "...e scrivere le eq. cartesiane di blabla" non ho mai pensato che ci fossero diversi tipi di eq. cartesiane
Lascia pur perdere la domanda 4, oggi mi son fatto diversi esercizi e ho capito.
dove dici:
Il tuo ragionamento è esatto, soltanto che il tuo professore ha semplicemente moltiplicato la matrice M per la colonna $ (x,y,z) $ , cioè si è trovato il vettore generico associato alla M. Attenzione: così non trovi le equazioni cartesiane che abbiamo trovato prima nel post precedente.
come sono diverse? uffa e io che pensavo di aver archiviato l'argomento come "capito"
potresti spiegarmi la differenza? vedendo la consegna "...e scrivere le eq. cartesiane di blabla" non ho mai pensato che ci fossero diversi tipi di eq. cartesiane
"Flagg":
ciao! ancora grazie per i chiarimenti
Lascia pur perdere la domanda 4, oggi mi son fatto diversi esercizi e ho capito.
dove dici:
Il tuo ragionamento è esatto, soltanto che il tuo professore ha semplicemente moltiplicato la matrice M per la colonna $ (x,y,z) $ , cioè si è trovato il vettore generico associato alla M. Attenzione: così non trovi le equazioni cartesiane che abbiamo trovato prima nel post precedente.
come sono diverse? uffa e io che pensavo di aver archiviato l'argomento come "capito"
potresti spiegarmi la differenza? vedendo la consegna "...e scrivere le eq. cartesiane di blabla" non ho mai pensato che ci fossero diversi tipi di eq. cartesiane
Il vettore generico di una matrice associata ad una applicazione lineare può essere trovato con le equazioni cartesiane, come ti ho detto, moltiplicando la matrice per la colonna delle incognite. Se ho una equazione cartesiana $x + y -2z=0$ il vettore generico sarà $(2z-y,y,z)$.
Da qui puoi costruirti una base del sottospazio associato. Ti ripeto che non sono la stessa cosa, e ti consiglio di ripassare qualcosa sul libro a proposito.
Se ricordi, le equazioni cartesiane si trovano col metodo illustrato nel post precedente. Se leggi bene, io non ho moltiplicato la matrice dell'applicazione lineare per una colonna delle incognite. Ho inserito una riga, che è la stessa cosa di inserire una colonna, nella matrice e poi ho ridotto per calcolarmi le equazioni cartesiane per cui un vettore generico $(x,y,t)$ deve soddisfare affinchè stia nel sottospazio considerato.
Se tu ti trovi il vettore generico dell'app. lineare associato a quella matrice dell'esempio, trovi:
$x = -2y$ e $y=z$ cioè il generico vettore sarà: $(-2y,y,y)$ Hai capito?
"Flagg":
non ho mai pensato che ci fossero diversi tipi di eq. cartesiane
Intervengo per una considerazione al volo, spero possa essere utile: le equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale non sono mai uniche. Esempio: $y=x$ e $2y=2x$ definiscono la stessa retta.
aaa ecco, capito, grazie 1000 gente
Salve a tutti, io ho una matrice A fatta così:
(1,1)
(0,1)
La matrice è messa per colonne(mi scuso con tutti voi se non so scriverla nel modo corretto, in quanto non sono abituato a usare i forum) i vettori sarebbero: (1,0) e (1,1) messi per colonna formano la matrice sopra, come faccio a individuare le equazioni del sottospazio? Cioè, il sottospazio è descritto da: span[(1,0);(1,1)] Mi sapreste dare una mano? Io ho messo i vettori per colonna e ho aggiunto la colonna (x,y), la matrice è già ridotta a scala, quali sono le equazioni del sottospazio? Non riesco a trovarle, mi sapreste dare una mano?
Ringrazio tutti voi e mi scuso se non ho saputo scrivere vettori e matrici come avete fatto voi nei post precedenti,
Cordiali saluti a tutti.
(1,1)
(0,1)
La matrice è messa per colonne(mi scuso con tutti voi se non so scriverla nel modo corretto, in quanto non sono abituato a usare i forum) i vettori sarebbero: (1,0) e (1,1) messi per colonna formano la matrice sopra, come faccio a individuare le equazioni del sottospazio? Cioè, il sottospazio è descritto da: span[(1,0);(1,1)] Mi sapreste dare una mano? Io ho messo i vettori per colonna e ho aggiunto la colonna (x,y), la matrice è già ridotta a scala, quali sono le equazioni del sottospazio? Non riesco a trovarle, mi sapreste dare una mano?
Ringrazio tutti voi e mi scuso se non ho saputo scrivere vettori e matrici come avete fatto voi nei post precedenti,
Cordiali saluti a tutti.
Osserva che sei in $RR^2$ e pertanto $2$ vettori linearmente indipendenti formano un base di $RR^2$. E pertanto non hai alcuna dipendenza lineare tra i due vettori. In soldoni non ci sono equazioni cartesiane di quel sottospazio, perchè descrivono tutto $RR^2$
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