Da nucleo a operatore
Salve ragazzi, a pochi giorni dal mio esame di geometria ho ancora alcuni dubbi che non riesco a venirne a capo!
Ho il seguente sottospazio vettoriale
Devo trovare un operatore F di $\RR^4$ tale che $\KerF = U$
C'è qualcuno che sa mettermi sulla giusta strada?
Ho il seguente sottospazio vettoriale
Devo trovare un operatore F di $\RR^4$ tale che $\KerF = U$
C'è qualcuno che sa mettermi sulla giusta strada?
Risposte
Hint: Si tratta di fare qualche considerazione mediante lo spazio duale. Dapprima trovi la base dello spazio vettoriale determinato da U e poi lo associ alle applicazioni vettoriali nello spazio duale. Da qui F sarà la composizione lineare delle funzioni duali dei vettori della base!
Grazie mille della risposta, ma ancora sono fuori strada!
Eh si, anche io vorrei capire meglio il procedimento indicato da Lord K. Io avrei fatto nella maniera più "forza bruta": trovo una base di $U$, completo in una base di $RR^4$ e costruisco un'applicazione lineare che manda la base di $U$ nello 0 lasciando fissi gli altri vettori [della base di] $RR^4$.
Invece K dice di trovare una base di $U$, diciamo $u_1, u_2$, associare questi vettori a due funzionali lineari (rispetto a quale base?) e combinare linearmente questi funzionali...Ma così non otterremmo un funzionale, cioè un'applicazione $RR^4\toRR$? Sembra un'idea interessante ma non riesco a capire...
[edit]
Invece K dice di trovare una base di $U$, diciamo $u_1, u_2$, associare questi vettori a due funzionali lineari (rispetto a quale base?) e combinare linearmente questi funzionali...Ma così non otterremmo un funzionale, cioè un'applicazione $RR^4\toRR$? Sembra un'idea interessante ma non riesco a capire...
[edit]
Uhm... reputo allora di essermi spiegato in maniera poco chiara!
Sicuramente il sistema ha due vettori che formano una base di $KerF$ allora chiamiamo detti vettori $u_1$ e $u_2$ come suggerito, completo ad una base mediante per esempio $e_j$ e $e_i$ (i vettori canonici). Ciascun vettore individua una ed una sola forma lineare su $RR^4$ del tipo: $u_1^d:RR rightarrow RR$ rispetto alla base di $RR^4$ individuata prima e tale che:
$u_1^d(u_1)=1$ e con $u_1^d(u_2)=u_1^d(e_i)=u_1^d(e_j)=0$
ed analogamente per gli altri.
La funzione cercata $F$ è definita come:
$F= mu*e_i^d+lambda*e_j^d$
rispetto alla base ${u_1, u_2, e_i, e_j}$
Sicuramente il sistema ha due vettori che formano una base di $KerF$ allora chiamiamo detti vettori $u_1$ e $u_2$ come suggerito, completo ad una base mediante per esempio $e_j$ e $e_i$ (i vettori canonici). Ciascun vettore individua una ed una sola forma lineare su $RR^4$ del tipo: $u_1^d:RR rightarrow RR$ rispetto alla base di $RR^4$ individuata prima e tale che:
$u_1^d(u_1)=1$ e con $u_1^d(u_2)=u_1^d(e_i)=u_1^d(e_j)=0$
ed analogamente per gli altri.
La funzione cercata $F$ è definita come:
$F= mu*e_i^d+lambda*e_j^d$
rispetto alla base ${u_1, u_2, e_i, e_j}$
Aaaah forse ho capito l'inghippo. Tu hai costruito una forma lineare che sicuramente si annulla in $U$. Cioè una cosa tipo $RR^4\toRR$ lineare che si annulla su $u_1, u_2$ (e anche su un altro vettore lin. indip. da questi, $1/mu e_i -1/lambda e_j$). Giusto?
Però clockover voleva una applicazione $RR^4\toRR^4$ il cui nucleo fosse esattamente $U$. Almeno, così ho capito io e per questo non riuscivo a seguirti.
Però clockover voleva una applicazione $RR^4\toRR^4$ il cui nucleo fosse esattamente $U$. Almeno, così ho capito io e per questo non riuscivo a seguirti.
A dire la verità il testo dell'esercizio non è molto chiaro in proposito diceva solamente:
Trovare un operatore F di $\RR^4$ tale che KerF = U
Infatti non diceva altro, poteva benissimo intendere semplicemente da $\RR^4$ a $\RR^2$, ma così l'esercizio non ci sarebbe stato per niente dato che sarebbe stato già quello l'operatore! Oppure come pensavo io un endomorfismo!
Trovare un operatore F di $\RR^4$ tale che KerF = U
Infatti non diceva altro, poteva benissimo intendere semplicemente da $\RR^4$ a $\RR^2$, ma così l'esercizio non ci sarebbe stato per niente dato che sarebbe stato già quello l'operatore! Oppure come pensavo io un endomorfismo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo