Da equazioni cartesiane a equazioni parametriche?
Ragazzi, non riesco a capire il passaggio tra equazioni cartesiane a equazioni parametriche.. Se per esempio ho la seguente retta nello spazio di equazioni cartesiane:
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 - x2 + 3x3 = 2
Come mi ricavo le equazioni parametriche della retta?
Sul libro dice che le equazioni parametriche sono:
x1 = 5 + 4t
x2 = 2 - t
x3 = -2 - 3t
Però non capisco come ci è arrivato, perchè anche risolvendo il sistema a me queste equazioni non vengono, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi?
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 - x2 + 3x3 = 2
Come mi ricavo le equazioni parametriche della retta?
Sul libro dice che le equazioni parametriche sono:
x1 = 5 + 4t
x2 = 2 - t
x3 = -2 - 3t
Però non capisco come ci è arrivato, perchè anche risolvendo il sistema a me queste equazioni non vengono, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi?
Risposte
Ciao!
Mi sa che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua, sai?
Le equazioni parametriche di una retta (e più in generale di una curva) non sono uniche!
Come forse sai, nella rappresentazione parametrica $(a+v_1t, b+v_2t, c+v_3t)$ si ha che $(a,b,c)$ è un punto per cui passa la retta e $(v_1, v_2, v_3)$ è un vettore parallelo alla retta.
Naturalmente, puoi cambiare a piacimento il punto (sulla retta ci sono infiniti punti) e anche il vettore direzione, sostituendolo con uno parallelo.
Infine, se hai le equazioni cartesiane di una retta e ne vuoi scrivere una parametrizzazione risolvi il sistema, senza preoccuparti di come scegli i parametri.
Hai capito?
Mi sa che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua, sai?
Le equazioni parametriche di una retta (e più in generale di una curva) non sono uniche!
Come forse sai, nella rappresentazione parametrica $(a+v_1t, b+v_2t, c+v_3t)$ si ha che $(a,b,c)$ è un punto per cui passa la retta e $(v_1, v_2, v_3)$ è un vettore parallelo alla retta.
Naturalmente, puoi cambiare a piacimento il punto (sulla retta ci sono infiniti punti) e anche il vettore direzione, sostituendolo con uno parallelo.
Infine, se hai le equazioni cartesiane di una retta e ne vuoi scrivere una parametrizzazione risolvi il sistema, senza preoccuparti di come scegli i parametri.
Hai capito?
devi paramettrizzare un valore
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 - x2 + 3x3
ad esempio se poni x2=t
$\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 -2x1 - t):}$ da cui $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 -2(-t - x3 + 5) - t):}$ $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 +2t +2x3 -10 - t):}$ $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$ $\{(x1 =-t - (-8 +t) + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$
$\{(x1 =-t +8 -t + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$ $\{(x1 = 13 -2t),(x2=t),(x3 = -8 +t):}$
ed ecco che hai la forma parametrica della retta espressa come intersezione di due spazi vettoriali! Le due forme sono equivalenti...la retta è la stessa!
Ovviamente devi sapere che $\{(x =x_0 + l t),(y=y_0 + m t),(z =z_0 + n t ):}$ è la forma generica di una retta in forma parametrica dove $(x_0,y_0,z_0)$ è un generico punto appartenente alla retta e $(l,m,n)$ sono le componenti del vettore che da direzione alla retta!
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 - x2 + 3x3
ad esempio se poni x2=t
$\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 -2x1 - t):}$ da cui $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 -2(-t - x3 + 5) - t):}$ $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(3x3 = 2 +2t +2x3 -10 - t):}$ $\{(x1 =-t - x3 + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$ $\{(x1 =-t - (-8 +t) + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$
$\{(x1 =-t +8 -t + 5),(x2=t),(x3 = (-8 +t)):}$ $\{(x1 = 13 -2t),(x2=t),(x3 = -8 +t):}$
ed ecco che hai la forma parametrica della retta espressa come intersezione di due spazi vettoriali! Le due forme sono equivalenti...la retta è la stessa!
Ovviamente devi sapere che $\{(x =x_0 + l t),(y=y_0 + m t),(z =z_0 + n t ):}$ è la forma generica di una retta in forma parametrica dove $(x_0,y_0,z_0)$ è un generico punto appartenente alla retta e $(l,m,n)$ sono le componenti del vettore che da direzione alla retta!
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