Da cartesiana a parametrica

[Pigreco93]

$r : x + 2y - z = 0; y - z - 3 = 0$

come faccio a trasformarla in parametrica e poi trovare i parametri direttori (so che si possono trovare facendo il prodotto vettoriale tra i vettori direttori delle due rette, corretto)?

se pongo $z=t$ mi blocco a questo punto

$\{(x+2y-t=0), (y-t-3), (z=t):}$ $\{(x+2y-y+3=0), (t=y-3), (z=t):}$ $\{(x+y+3=0), (t=y-3), (z=t):}$

[Camillo]

Devi esprimere tutte le coordinate cartesiane in funzione di $t $ , quindi se poni $z=t $ allora :
$ y= 3+z rarr y=3+t $
$ x= z-2y rarr x= t-(2t+6)= -6-t $
da qui ricavi tutto ..

[Pigreco93]

Ok grazie. quindi come faccio a verifcare se le due rette $r : x + 2y - z = 0; y - z - 3 = 0$ ed $s : x = 3 - t; y = t; z = 1 + t$ sono parallele e in caso affermativo determinare l'equazione del piano che le contiene.

$r$ in forma parametrica :$\{(x=-6-t), (y=t+3), (z=t):}$

$s$ in forma cartesiana :$\{(x+y-3=0),(y-z+1=0):}$

quando due rette sono parallele? quando dati due vettori direttori $v_1, v_2$ esiste $a in RR : v_2=av_1$

è corretta? c'è un altra definizione equivalente, magari calcolando il determinante?

facendo un po di conti risulta che $v_r=av_s$

$(-1,1,1)=a(-1,1,1)$ quindi dovrebbero essere parallele. giusto?

ora per trovare l'equazione del piano che le contiene come faccio? si possono usare i fasci?

[Camillo]

I parametri direttori delle due rette sono addirittura uguali quindi sono parallele ( i parametri potrebbero essere anche solo proporzionali e le rette sempre parallele).
N.B Non è opportuno usare lo stesso parametro per due rette diverse .
Quindi retta r ) :
$x=-6-t $
$y= 3+t $
$z=t$

Retta s ):
$x= 3-s$
$y= s$
$z= 1+s $
Sono parallele e per trovare il piano che le comprende considero il fascio di piani che ha come sostegno la retta s):

$ alpha ( x+y-3)+beta( y-z+1)=0 $ e impongo che passi per un punto della retta r), ad esempio per : $ P=(-6,3,0)$ ottenendo $ beta = 3/2 alpha $ e scelgo per comodità : $ alpha=2 ; beta=3 $ ottenendo alla fine : $ 2x+5y-3z-3=0 $

[Pigreco93]

"Camillo":
Sono parallele e per trovare il piano che le comprende considero il fascio di piani che ha come sostegno la retta s):

$ alpha ( x+y-3)+beta( y-z+1)=0 $ e impongo che passi per un punto della retta r), ad esempio per : $ P=(-6,3,0)$ ottenendo $ beta = 3/2 alpha $ e scelgo per comodità : $ alpha=2 ; beta=3 $ ottenendo alla fine : $ 2x+5y-3z-3=0 $

posso anche usare la retta $r$ ed è uguale?

per trovare il $P=(-6,3,0)$ hai imposto $t=0$ nell'equazione parametrica della retta $r$?

passaggio per un punto della retta significa sostituire il punto nel fascio?

$ alpha=2 ; beta=3 $ in base a cosa gli hai scelti?

[Camillo]

*OK puoi usare la retta r.
*punto P : OK ho imposto $t=0 $ nell'equazione della retta r.
*OK sostituire le coordinate del punto nel fascio .
*si arriva a : $6 alpha = 4 beta $ da cui : $ beta = 3/2 alpha $, per evitare frazioni scelgo $alpha =2 $ da cui $ beta = 3 $.

[Pigreco93]

"Camillo":*OK puoi usare la retta r.
*punto P : OK ho imposto $t=0 $ nell'equazione della retta r.
*OK sostituire le coordinate del punto nel fascio .
*si arriva a : $6 alpha = 4 beta $ da cui : $ beta = 3/2 alpha $, per evitare frazioni scelgo $alpha =2 $ da cui $ beta = 3 $.

quindi scelgo $alpha$ o $beta $ a piacere?

[Camillo]

Sì