$ C={x'inX|d(x,x')<=r} $ è chiuso in $ X $
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Risposte
Ciao e benvenuto nel forum! Complimenti, primo messaggio già con le formule formattate 
Ma cosa vuoi mostrare riguardo quell'insieme?
Ma cosa vuoi mostrare riguardo quell'insieme?
Vorrei sapere cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento che porta a dire che C=X.
Provo a rendermi più chiaro:
ho il seguente enunciato da dimostrare:
Sia, per ogni $ x in R^n $ , per ogni $ XsubR^n $, $ r>0 $ , $ C={x' in X: d(x,x')
Do per prima la mia dimostrazione:
$ C $, è l'insieme dei punti di $ X $ tali che un punto $ x in R^n $ è aderente a $ X $. Dalla definizione stessa di $ C $ si ha che $ C sube X $.
Poichè $ X sub R^n $ tutti i punti $ x' in X $ dovranno appartenere anche a $ C $. Infatti ciascun punto di $ X $ è quello tale che esso stesso è aderente a $ X $, ponendo $ x=x' $. Da ciò segue che $ X sube C $. Ma allora $ C=X $.
Se $ C=X $ , si ha che $ C-X= O/ $ e dal momento che non esiste alcun punto $ y in C-X $ tutti i punti aderenti a $ C $ dovranno essere contenuti in esso stesso, quindi $ C $ è chiuso.
Dimostrazione data dal libro:
a) Se $ y in C-X $, allora $ delta = d(x,y)-r>0 $.
b) per la disuguaglianza triangolare vale $ d(y,x')>= d(x,y)-d(x',x) >= delta $ per ogni $ x' in C $ e quindi $ y $ non è aderente a $ C $.
La dimostrazione del libro praticamente al punto a) prende $ y $ in un insieme $ C-X $ che secondo la mia dimostrazione deve essere vuoto. Da ciò ho dedotto immediatamente che la mia dimostrazione dovesse essere sbagliata.
In realtà riflettendoci le due dimostrazioni non si escludono per forza a vicenda, quella del libro non si preoccupa di studiare cosa sia $ C $ nè tantomeno $ C-X $ e dice che anche ci fosse un $ y $ in $ C-X $ tale $ y $ non sarebbe comunque aderente a $ C $. Tuttavia mi sembrerebbe lo stesso un approccio strano e sono giunto alla conclusione che sia io a sbagliare dicendo che $ C-X $ è vuoto. Per questo chiedo chiarimenti.
ho il seguente enunciato da dimostrare:
Sia, per ogni $ x in R^n $ , per ogni $ XsubR^n $, $ r>0 $ , $ C={x' in X: d(x,x')
Do per prima la mia dimostrazione:
$ C $, è l'insieme dei punti di $ X $ tali che un punto $ x in R^n $ è aderente a $ X $. Dalla definizione stessa di $ C $ si ha che $ C sube X $.
Poichè $ X sub R^n $ tutti i punti $ x' in X $ dovranno appartenere anche a $ C $. Infatti ciascun punto di $ X $ è quello tale che esso stesso è aderente a $ X $, ponendo $ x=x' $. Da ciò segue che $ X sube C $. Ma allora $ C=X $.
Se $ C=X $ , si ha che $ C-X= O/ $ e dal momento che non esiste alcun punto $ y in C-X $ tutti i punti aderenti a $ C $ dovranno essere contenuti in esso stesso, quindi $ C $ è chiuso.
Dimostrazione data dal libro:
a) Se $ y in C-X $, allora $ delta = d(x,y)-r>0 $.
b) per la disuguaglianza triangolare vale $ d(y,x')>= d(x,y)-d(x',x) >= delta $ per ogni $ x' in C $ e quindi $ y $ non è aderente a $ C $.
La dimostrazione del libro praticamente al punto a) prende $ y $ in un insieme $ C-X $ che secondo la mia dimostrazione deve essere vuoto. Da ciò ho dedotto immediatamente che la mia dimostrazione dovesse essere sbagliata.
In realtà riflettendoci le due dimostrazioni non si escludono per forza a vicenda, quella del libro non si preoccupa di studiare cosa sia $ C $ nè tantomeno $ C-X $ e dice che anche ci fosse un $ y $ in $ C-X $ tale $ y $ non sarebbe comunque aderente a $ C $. Tuttavia mi sembrerebbe lo stesso un approccio strano e sono giunto alla conclusione che sia io a sbagliare dicendo che $ C-X $ è vuoto. Per questo chiedo chiarimenti.
nessuno?
Non ho letto tutto ma ho due considerazioni. La notazione \(A-B\) forse è da intendersi come \(x-y \in \mathbb{R}\) t.c. \( x \in A, y \in B\)? Poi, quale definizione usi per insieme chiuso in un altro insieme? Se io ho uno spazio topologico \(X\) e un suo sottoinsieme \(Y\), dico che \(C\cap Y\) è chiuso in \(Y\) se \(C\) è chiuso in \(X\).
$ C $ è chiuso in $ X $ se per ogni $ x in X-C={ x in X| x !in C } $ esiste un $ delta>0 $ tale che $ d(x,y)>= delta $ per ogni $ y in C $ . Entrambe le definizioni le ho prese dal libro di testo.
Ah, ho capito. Intendi \(X\backslash C\).
Sì, mi spiace se ho creato ambiguità. Anche nel libro utilizza questa notazione non comunissima e mi è venuto di scriverlo uguale. Per quanto riguarda la domanda che ho posto io, che ne pensi? Io non sono ancora venuto a capo del motivo della dimostrazione data dal libro. Sebbene sia fondamentalmente giusta, mi appare un po' forzata. Continuo a credere mi sfugga qualcosa.
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