CW-complessi
Salve a tutti, sto studiando -un'introduzione alla- topologia algebrica, ma sono fermo da giorni sulla definizione induttiva di cw-complesso e sui primi esempi classici che si fanno - costruzione della sfera n-dimensionale, piano proiettivo realee-, ed è sicuramente perchè non ho ben capito la definizione appunto. Io ho questa versione:
Un CW-complesso finito $X$ di dimensione $N$ è uno spazio
topologico costruito nel modo seguente:
1. $X^0$ è uno spazio finito e discreto;
2. Per $ 0 < n \leq N$ lo spazio topologico $X^n$ è ottenuto da $ X^{n-1}$ attaccando un numero finito $J_n $ di coppie $(X;A) = (D^_i^n; S_i^{n-1} )$ mediante applicazioni continue $\phi_i^{n-1}: S_i^{n-1}\rightarrow X^{n-1}$;
3. $X=X^N$;
($A$ è un sottospazio contraibile di $X$)
I miei dubbi riguardano ovviamente il secondo: non capisco cosa voglia dire che si attaccano quelle coppie - e perchè poi tiro fuori $X$?!) con applicazioni continue, e nemmeno perch'è l'applicazione dovrebbe partire da $ S_i^{n-1}$.
Ogni aiuto/hint è molto apprezzato, sono abbastanza disperato, grazie in anticipo!
Un CW-complesso finito $X$ di dimensione $N$ è uno spazio
topologico costruito nel modo seguente:
1. $X^0$ è uno spazio finito e discreto;
2. Per $ 0 < n \leq N$ lo spazio topologico $X^n$ è ottenuto da $ X^{n-1}$ attaccando un numero finito $J_n $ di coppie $(X;A) = (D^_i^n; S_i^{n-1} )$ mediante applicazioni continue $\phi_i^{n-1}: S_i^{n-1}\rightarrow X^{n-1}$;
3. $X=X^N$;
($A$ è un sottospazio contraibile di $X$)
I miei dubbi riguardano ovviamente il secondo: non capisco cosa voglia dire che si attaccano quelle coppie - e perchè poi tiro fuori $X$?!) con applicazioni continue, e nemmeno perch'è l'applicazione dovrebbe partire da $ S_i^{n-1}$.
Ogni aiuto/hint è molto apprezzato, sono abbastanza disperato, grazie in anticipo!
Risposte
Devi fare un po' di ordine in quella che è l'intuizione geometrica che sottende ai CW-complessi, che è piuttosto semplice confrontata con la definizione attuale, dove si sedimentano diverse soluzioni molto ingegnose per risolvere problemi tecnici legati a cosa vuoi o non vuoi includere nella categoria \(\bf CW\) dei CW-complessi.
L'idea dietro la maggioranza di queste definizioni è quella di individuare delle proprietà costituenti di spazi topologici "semplici", vuoi per il modo in cui sono stati costruiti, vuoi per le proprietà di regolarità della classe di questi spazi. Nel secondo caso, scegliendo cioè di considerare solo spazi molto "buoni" ottieni la pletora di definizioni della topologia algebrica elementare volte a trovare una categoria conveniente di spazi topologici. Puoi parlare di una classe di spazi relativamente ampia, con buone proprietà generali, a cui manca però una definizione operativa e costruttiva (nella definizione di spazi compattamente generato non è semplicissimo dimostrare che uno spazio complicato lo è). L'altra opzione che ti viene data è considerare una classe di spazi che può avere proprietà globali molto brutte, ma che è ottenuta mediante l'iterazione di operazioni semplici. E' il caso questo dei CW complessi, dove la classe di spazi semplici è quella dei dischi e dei loro bordi (le sfere), che vengono induttivamente incollate, in dimensione via via più alta, ad uno spazio di partenza (questo è $X^0$).
Storicamente, la nozione di CW complesso fu ideata da Whitehead come astrazione della classe particolare di spazi descritti nel suo articolo "Simplicial spaces, nucleii and $m$-groups". Qui sono definiti, con una procedura tipica della topologia combinatoria che è rimasta alla moda in aree come la teoria dei nodi, generatori e relazioni di un gruppo di operazioni ("mosse elementari") che si possono compiere su di un complesso simpliciale finito per trasformarlo in un altro.
Più precisamente si dice che un complesso $K$ collassa su un altro $L$, e si denota \(K \overset{s}\searrow L\), se esiste una sequenza di mosse elementari che porta $K$ in $L$. Queste operazioni, che non ho ancora definito, sono, come è classico in quest'area della matematica, decisamente complicate da formalizzare ma estremamente semplici da disegnare: si tratta sostanzialmente di prendere $K$ e di collassare ad un punto tutti i suoi sottocomplessi contraibili (in questa definizione, contraibile significa "omeomorfo a un disco -chiuso-); il complesso che rimane viene chiamato il "nucleo" di $K$ -e infatti nel paper originale di Whitehead si dice che $K$ ed $L$ "hanno lo stesso nucleo" se \(K \overset{s}\searrow L\)-. In questa immagine vedi come il complesso all'estrema sinistra collassa via via in uno dei suoi punti (ogni complesso simpliciale ha un insieme privilegiato di suoi punti che hanno un nome speciale).
Osserva en passant che la relazione \(\overset{s}\searrow \) non è simmetrica per come è definita, tuttavia \(K \overset{s}\searrow L\) se e solo se \(K \overset{s}\nearrow L\), cioè se $L$ si espande in $K$. Due complessi simpliciali finiti "hanno lo stesso tipo di omotopia semplice" se esiste una successione
\[
K = K_0 \rightsquigarrow K_1 \rightsquigarrow \cdots \rightsquigarrow K_n = L
\] dove ciascuna freccia è un'espansione o un collassamento.
E' a questo punto un risultato non banale che se $K$ ed $L$ hanno lo stesso tipo di omotopia semplice allora hanno lo stesso tipo di omotopia nel senso più forte possibile, ovvero esiste un'equivalenza omotopica \(\varphi : K\to L\).
La definizione di CW-complesso serve ad astrarre questa teoria a una classe di spazi (sensibilmente) più ampia dei complessi simpliciali finiti, sbarazzandosi di tutte le ipotesi non essenziali a dare queste definizioni molto concrete e operative. Ciò che emerge dalla teoria prescritta da Whitehead è che l'essenziale di queste definizioni è essere stati in grado di attaccare, ad uno spazio iniziale discreto $X^0$ (che puoi tuttavia comunque pensare come un insieme di dischi di dimensione 0!), dischi di dimensione via via più alta secondo il loro bordo.
"Attaccare" significa proprio attaccare nel senso che certa pessima letteratura in topologia sembra vietarti di fare, facendo cioè collidere due sottospazi in maniera non-iniettiva. Del resto la definizione non può essere così ingenua (facciamo matematica, e in essa solo la teoria dei nodi può permettersi di fare dimostrazioni mediante disegnini). Perciò bisogna trovare, in modo analogo a ciò che si fa con la definizione di "gruppo astratto" che è atta a sussumere tutte le incarnazioni concrete di gruppi ($\mathbb Z$, il gruppo di Prüfer, il gruppo dei diffeomorfismi simplettici di un fibrato cotangente, etc.), una definizione generale e maneggevole per ciò di cui stiamo parlando.
Ciò che significa l'operazione di incollamento si formalizza nel seguente modo: supponi di essere in questa situazione. Hai tre spazi topologici e due funzioni continue organizzate in un diagramma
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @.\\
Y @.
\end{CD}
\] Definisci un ulteriore spazio topologico \(Z=(X\coprod Y)/_\sim\) dove \(\sim\) è la minima relazione di equivalenza che identifica $f(a)$ e $ g(a)$ per ogni $a\in A$. Puoi agevolmente dimostrare che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @VViV\\
Y @>>j> Z
\end{CD}
\] è commutativo (cioè le mappe $i,j$ definite rispettivamente come \(X,Y \to X\coprod Y\to Z\) sono tali per cui $if=jg$) ed universale con questa proprietà (cioè ogni volta che vengono date $u,v : X,Y\to P$, con $P$ spazio topologico qualsiasi, tali che $uf=vg$, allora esiste ed è unica una funzione continua \(\langle u,v\rangle : Z\to P\) tale che \(\langle u,v\rangle \circ i=u, \langle u,v\rangle \circ j = v\). Questa è la proprietà universale della somma amalgamata (o pushout), che quindi denota \(Z=X\coprod_A Y\). Fare qualche disegno con spazi topologici semplici ti mostrerà che questa è esattamente l'astrazione necessaria a catturare l'idea intuitiva di avere incollato $X$ e $Y$ lungo sottospazi che sono l'immagine continua di funzioni \(A\to X,Y\); il caso particolare in cui $A$ è davvero un sottospazio di $X,Y$ si recupera, ovviamente, quando $f,g$ sono iniettive ed $A$ si identifica a un sottospazio di ciascuno dei due.
La definizione di CW-complesso usa pesantemente questa nozione astratta: ti viene dato da Dio in persona uno spazio discreto $X^0$, e un insieme di mappe continue \(\phi_{\alpha,0} : S^0_\alpha \to X^0\); sei dunque in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^0_\alpha @>>> X^0 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^1 @.
\end{CD}
\] se ora produci il pushout di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^1$: si tratta di $X^0$ a cui hai attaccato un certo numero di copie di $D^1=[0,1]$ lungo i bordi di queste ultime copie, che sono \(S^0 =\{0,1\}\). Ora, il cuore di questa definizione è la sua induttività: ti vengono date delle mappe \(\phi_{\alpha,1} : S^1_\alpha \to X^1\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^1_\alpha @>>> X^1 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^2 @.
\end{CD}
\] se ora produci il pushout di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^2$; si tratta di $X^1$ a cui hai incollato un certo numero di copie del disco di dimensione 2 $D^2 = B(0,1] \subseteq \mathbb R^2$ lungo i bordi di queste ultime, che sono delle copie della circonferenza unitaria in $\mathbb R^2$. Del resto ora ti sono date delle mappe \(\phi_{\alpha,2} : S^2_\alpha \to X^2\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^2_\alpha @>>> X^2 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^3 @.
\end{CD}
\] ...il fatto che io abbia prodotto l'ultima frase semplicemente copiano e incollando il testo e sostituendo ogni occorrenza di "1" con"2" ti permette di capire che ora produrrai spazi \(X^3, X^4,\dots, X^n,\dots\) che si organizzano in un diagramma
\[
\begin{CD}
X^0 @>>> X^1 @>>> X^2 @>>> X^3 @>>> X^4 @>>> \dots @>>> X^n @>>> \dots
\end{CD}
\] Ciascuno di questi spazi si chiama l'$n$-scheletro del limite di questa sequenza di spazi, ovvero l'unione \(\bigcup_n X^n\) con la topologia ovvia indotta su questa unione.
L'idea dietro la maggioranza di queste definizioni è quella di individuare delle proprietà costituenti di spazi topologici "semplici", vuoi per il modo in cui sono stati costruiti, vuoi per le proprietà di regolarità della classe di questi spazi. Nel secondo caso, scegliendo cioè di considerare solo spazi molto "buoni" ottieni la pletora di definizioni della topologia algebrica elementare volte a trovare una categoria conveniente di spazi topologici. Puoi parlare di una classe di spazi relativamente ampia, con buone proprietà generali, a cui manca però una definizione operativa e costruttiva (nella definizione di spazi compattamente generato non è semplicissimo dimostrare che uno spazio complicato lo è). L'altra opzione che ti viene data è considerare una classe di spazi che può avere proprietà globali molto brutte, ma che è ottenuta mediante l'iterazione di operazioni semplici. E' il caso questo dei CW complessi, dove la classe di spazi semplici è quella dei dischi e dei loro bordi (le sfere), che vengono induttivamente incollate, in dimensione via via più alta, ad uno spazio di partenza (questo è $X^0$).
Storicamente, la nozione di CW complesso fu ideata da Whitehead come astrazione della classe particolare di spazi descritti nel suo articolo "Simplicial spaces, nucleii and $m$-groups". Qui sono definiti, con una procedura tipica della topologia combinatoria che è rimasta alla moda in aree come la teoria dei nodi, generatori e relazioni di un gruppo di operazioni ("mosse elementari") che si possono compiere su di un complesso simpliciale finito per trasformarlo in un altro.
Più precisamente si dice che un complesso $K$ collassa su un altro $L$, e si denota \(K \overset{s}\searrow L\), se esiste una sequenza di mosse elementari che porta $K$ in $L$. Queste operazioni, che non ho ancora definito, sono, come è classico in quest'area della matematica, decisamente complicate da formalizzare ma estremamente semplici da disegnare: si tratta sostanzialmente di prendere $K$ e di collassare ad un punto tutti i suoi sottocomplessi contraibili (in questa definizione, contraibile significa "omeomorfo a un disco -chiuso-); il complesso che rimane viene chiamato il "nucleo" di $K$ -e infatti nel paper originale di Whitehead si dice che $K$ ed $L$ "hanno lo stesso nucleo" se \(K \overset{s}\searrow L\)-. In questa immagine vedi come il complesso all'estrema sinistra collassa via via in uno dei suoi punti (ogni complesso simpliciale ha un insieme privilegiato di suoi punti che hanno un nome speciale).
Osserva en passant che la relazione \(\overset{s}\searrow \) non è simmetrica per come è definita, tuttavia \(K \overset{s}\searrow L\) se e solo se \(K \overset{s}\nearrow L\), cioè se $L$ si espande in $K$. Due complessi simpliciali finiti "hanno lo stesso tipo di omotopia semplice" se esiste una successione
\[
K = K_0 \rightsquigarrow K_1 \rightsquigarrow \cdots \rightsquigarrow K_n = L
\] dove ciascuna freccia è un'espansione o un collassamento.
E' a questo punto un risultato non banale che se $K$ ed $L$ hanno lo stesso tipo di omotopia semplice allora hanno lo stesso tipo di omotopia nel senso più forte possibile, ovvero esiste un'equivalenza omotopica \(\varphi : K\to L\).
La definizione di CW-complesso serve ad astrarre questa teoria a una classe di spazi (sensibilmente) più ampia dei complessi simpliciali finiti, sbarazzandosi di tutte le ipotesi non essenziali a dare queste definizioni molto concrete e operative. Ciò che emerge dalla teoria prescritta da Whitehead è che l'essenziale di queste definizioni è essere stati in grado di attaccare, ad uno spazio iniziale discreto $X^0$ (che puoi tuttavia comunque pensare come un insieme di dischi di dimensione 0!), dischi di dimensione via via più alta secondo il loro bordo.
"Attaccare" significa proprio attaccare nel senso che certa pessima letteratura in topologia sembra vietarti di fare, facendo cioè collidere due sottospazi in maniera non-iniettiva. Del resto la definizione non può essere così ingenua (facciamo matematica, e in essa solo la teoria dei nodi può permettersi di fare dimostrazioni mediante disegnini). Perciò bisogna trovare, in modo analogo a ciò che si fa con la definizione di "gruppo astratto" che è atta a sussumere tutte le incarnazioni concrete di gruppi ($\mathbb Z$, il gruppo di Prüfer, il gruppo dei diffeomorfismi simplettici di un fibrato cotangente, etc.), una definizione generale e maneggevole per ciò di cui stiamo parlando.
Ciò che significa l'operazione di incollamento si formalizza nel seguente modo: supponi di essere in questa situazione. Hai tre spazi topologici e due funzioni continue organizzate in un diagramma
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @.\\
Y @.
\end{CD}
\] Definisci un ulteriore spazio topologico \(Z=(X\coprod Y)/_\sim\) dove \(\sim\) è la minima relazione di equivalenza che identifica $f(a)$ e $ g(a)$ per ogni $a\in A$. Puoi agevolmente dimostrare che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>f>> X \\
@VgVV @VViV\\
Y @>>j> Z
\end{CD}
\] è commutativo (cioè le mappe $i,j$ definite rispettivamente come \(X,Y \to X\coprod Y\to Z\) sono tali per cui $if=jg$) ed universale con questa proprietà (cioè ogni volta che vengono date $u,v : X,Y\to P$, con $P$ spazio topologico qualsiasi, tali che $uf=vg$, allora esiste ed è unica una funzione continua \(\langle u,v\rangle : Z\to P\) tale che \(\langle u,v\rangle \circ i=u, \langle u,v\rangle \circ j = v\). Questa è la proprietà universale della somma amalgamata (o pushout), che quindi denota \(Z=X\coprod_A Y\). Fare qualche disegno con spazi topologici semplici ti mostrerà che questa è esattamente l'astrazione necessaria a catturare l'idea intuitiva di avere incollato $X$ e $Y$ lungo sottospazi che sono l'immagine continua di funzioni \(A\to X,Y\); il caso particolare in cui $A$ è davvero un sottospazio di $X,Y$ si recupera, ovviamente, quando $f,g$ sono iniettive ed $A$ si identifica a un sottospazio di ciascuno dei due.
La definizione di CW-complesso usa pesantemente questa nozione astratta: ti viene dato da Dio in persona uno spazio discreto $X^0$, e un insieme di mappe continue \(\phi_{\alpha,0} : S^0_\alpha \to X^0\); sei dunque in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^0_\alpha @>>> X^0 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^1 @.
\end{CD}
\] se ora produci il pushout di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^1$: si tratta di $X^0$ a cui hai attaccato un certo numero di copie di $D^1=[0,1]$ lungo i bordi di queste ultime copie, che sono \(S^0 =\{0,1\}\). Ora, il cuore di questa definizione è la sua induttività: ti vengono date delle mappe \(\phi_{\alpha,1} : S^1_\alpha \to X^1\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^1_\alpha @>>> X^1 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^2 @.
\end{CD}
\] se ora produci il pushout di queste mappe ti viene fuori uno spazio che chiami $X^2$; si tratta di $X^1$ a cui hai incollato un certo numero di copie del disco di dimensione 2 $D^2 = B(0,1] \subseteq \mathbb R^2$ lungo i bordi di queste ultime, che sono delle copie della circonferenza unitaria in $\mathbb R^2$. Del resto ora ti sono date delle mappe \(\phi_{\alpha,2} : S^2_\alpha \to X^2\); sei in questa situazione:
\[
\begin{CD}
\coprod_\alpha S^2_\alpha @>>> X^2 \\
@VVV @.\\
\coprod_\alpha D^3 @.
\end{CD}
\] ...il fatto che io abbia prodotto l'ultima frase semplicemente copiano e incollando il testo e sostituendo ogni occorrenza di "1" con"2" ti permette di capire che ora produrrai spazi \(X^3, X^4,\dots, X^n,\dots\) che si organizzano in un diagramma
\[
\begin{CD}
X^0 @>>> X^1 @>>> X^2 @>>> X^3 @>>> X^4 @>>> \dots @>>> X^n @>>> \dots
\end{CD}
\] Ciascuno di questi spazi si chiama l'$n$-scheletro del limite di questa sequenza di spazi, ovvero l'unione \(\bigcup_n X^n\) con la topologia ovvia indotta su questa unione.
Grazeìie mille! Ho capito molto di più grazie alla tua spiegazione, e complimenti, sei stato molto chiaro =)
Fai questo esercizio: dato un CW complesso $X$ e un aperto $Y\subseteq X_n$ dell'$n$-scheletro di $X$, esiste un'estensione canonica di $Y$ ad un aperto $Y'$ di $X$, tale che $Y'\cap X_n=Y$.
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