Curve Sferiche (Piccolo aiutino)
Salve Ragazzi, ho un nuovo esercizio di cui non sono certo aver fornito lo svolgimento corretto, potreste darmi qualche dritta?
Testo Esercizio:
Sia $alpha : I rightarrow mathbb{R}^3$ biregolare dove ne $k, tau$ si annullino mai. Mostrare che $C=Im(alpha)$ giace su una sfera di raggio $R$ se e solo se vale la relazione $1/k^2 (1+ (k')/(k^2tau^2)) = R^2$
Proposta di soluzione:
Se: Supponiamo che la curva giaccia su una sfera, allora potremo scriverla come $gamma : I rightarrow S$ come composizione $gamma := F@gamma'$ dove F è una parametrizzazione di $S$ e $gamma'$ una curva in $mathbb{R^2}$.
Possiamo pensare F come la parametrizzazione "canonica" della sfera ed inserire i valori $(x(t),y(t),z(t))$ nell'equazione e vedere che la risolvono. Concludiamo che vale poi per ogni parametrizzazione perchè per una curva biregolare $k, tau$ sono invarianti intrinseci.
Solo se: Qui è più complicato, avevo pensato di impostare un bel sistemino ossia inserire i classici modi di calcolare le curvature nell'equazione ottenendo così un equazione alle derivate parziali che viene risolta dalla parametrizzazione della sfera (è una supposizione, non ho fatto i calcoli). Impostando così l'esercizio però mi ritrovo immerso in un mare di calcoli che mi sembrano troppo complessi per un esercizio da esame. Volevo chiedervi se debbo mettermi l'anima in pace e cercare di ottimizzare le mie capacità di calcolo oppure esistono strade che non sto considerando?
P.S. So che ci sono teoremi che mi garantiscono l'appartenenza ad una n sfera in generale, ma non abbiamo svolto questo teorema e mi è richiesto di completare l'esercizio con le conoscenze che abbiamo appreso a lezione che sulla curvatura, fino a questo punto, sono solamente la sua interpretazione geometrica ed infinitesimale.
Testo Esercizio:
Sia $alpha : I rightarrow mathbb{R}^3$ biregolare dove ne $k, tau$ si annullino mai. Mostrare che $C=Im(alpha)$ giace su una sfera di raggio $R$ se e solo se vale la relazione $1/k^2 (1+ (k')/(k^2tau^2)) = R^2$
Proposta di soluzione:
Se: Supponiamo che la curva giaccia su una sfera, allora potremo scriverla come $gamma : I rightarrow S$ come composizione $gamma := F@gamma'$ dove F è una parametrizzazione di $S$ e $gamma'$ una curva in $mathbb{R^2}$.
Possiamo pensare F come la parametrizzazione "canonica" della sfera ed inserire i valori $(x(t),y(t),z(t))$ nell'equazione e vedere che la risolvono. Concludiamo che vale poi per ogni parametrizzazione perchè per una curva biregolare $k, tau$ sono invarianti intrinseci.
Solo se: Qui è più complicato, avevo pensato di impostare un bel sistemino ossia inserire i classici modi di calcolare le curvature nell'equazione ottenendo così un equazione alle derivate parziali che viene risolta dalla parametrizzazione della sfera (è una supposizione, non ho fatto i calcoli). Impostando così l'esercizio però mi ritrovo immerso in un mare di calcoli che mi sembrano troppo complessi per un esercizio da esame. Volevo chiedervi se debbo mettermi l'anima in pace e cercare di ottimizzare le mie capacità di calcolo oppure esistono strade che non sto considerando?
P.S. So che ci sono teoremi che mi garantiscono l'appartenenza ad una n sfera in generale, ma non abbiamo svolto questo teorema e mi è richiesto di completare l'esercizio con le conoscenze che abbiamo appreso a lezione che sulla curvatura, fino a questo punto, sono solamente la sua interpretazione geometrica ed infinitesimale.
Risposte
Ok, forse ho capito un pò meglio mimando la dimostrazione del teorema che citavo.
Il suggerimento che ho appreso è di sfruttare bene la terna di Frenet così da usare le formule di Frenet.
In sostanza: so che $alpha$ va in $S$ e la suppongo parametrizzata da lungezza d'arco. Essendo binormale i campi ${T(t),N(t),B(t)}$ formano un riferimento ortonormale equiverso. Suppongo per semplicita che la $S$ sia centrata nell'origine, ma la generalizzazione è evidente.
Ora, per la supposizione, avrò che in ogni punto $alpha=a_1T+a_2N+a_3B$ e vale la relazione che $a_1+a_2+a_3=R^2$ perchè il punto appartiene ad S.
Adesso cerco di ottenere la famosa equazione dalle formule di Fernet.
Poichè $alpha$ è parametrizzata da l.a. sappiamo che $alpha' = T $ ed $ = R^2$ deriviamo in particolare quest'ultima equazione ed otteniamo che $2 =0$ perciò $a_1 = 0$.
Adesso abbiamo $R^2=a_2^2 +a_3^2$ e non dobbiamo fare altro che sostituire al posto di $a_2= = 1/k * $ ed $a_1=0= $ deriviamo tutto ed otteniamo $ +1 = 0 $ perciò $a_2 = -1/k$
Inoltre $a_2^{\prime} = + = k + tau$ e ricordandosi sempre che $a_3= $ otteniamo che $a_2^{\prime} = tau a_3$ ossia $ k^{\prime}/(k^2 tau) = a_3$
Sostituiamo tutto questo nell'equazione iniziale ed otteniamo la tesi $ R^2 = 1/k^2 (1+ k^{\prime}/(k^2 tau^2))$
Ora io non sò cosa pensa il professore, ma io se non mi fossi ispirato alla dimostrazione trovata non credo sarei riuscito a risolverlo, forse devo cambiare facoltà
Il suggerimento che ho appreso è di sfruttare bene la terna di Frenet così da usare le formule di Frenet.
In sostanza: so che $alpha$ va in $S$ e la suppongo parametrizzata da lungezza d'arco. Essendo binormale i campi ${T(t),N(t),B(t)}$ formano un riferimento ortonormale equiverso. Suppongo per semplicita che la $S$ sia centrata nell'origine, ma la generalizzazione è evidente.
Ora, per la supposizione, avrò che in ogni punto $alpha=a_1T+a_2N+a_3B$ e vale la relazione che $a_1+a_2+a_3=R^2$ perchè il punto appartiene ad S.
Adesso cerco di ottenere la famosa equazione dalle formule di Fernet.
Poichè $alpha$ è parametrizzata da l.a. sappiamo che $alpha' = T $ ed $
Adesso abbiamo $R^2=a_2^2 +a_3^2$ e non dobbiamo fare altro che sostituire al posto di $a_2=
Inoltre $a_2^{\prime} =
Sostituiamo tutto questo nell'equazione iniziale ed otteniamo la tesi $ R^2 = 1/k^2 (1+ k^{\prime}/(k^2 tau^2))$
Ora io non sò cosa pensa il professore, ma io se non mi fossi ispirato alla dimostrazione trovata non credo sarei riuscito a risolverlo, forse devo cambiare facoltà
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo