Curve e sue tangenti in punti dati
Buongiorno, sono alle prese con questa tipologia di esercizi nei quali viene richiesto di studiare le tangenti ad una curva in determinati punti.
Poichè ho alcuni esercizi svolti vorrei cercare di capire il motivo per cui si segue quel procedimento.
Vi faccio un esempio:
"Determinare la tangente alla curva di equazioni parametriche date nel punto P(-1, 0)
$\{ ( x = 3t^3 -2t ),( y = t^2 - 1):}$
L'esercizio viene svolto sostituendo i valori di x ed y che si trovano nel sistema con quelli nel punto dato ( x= -1) ; (y = 0)
Troveremo così che il punto P si ottiene in corrispondenza del parametro t = -1
Ora, chiamando la prima equazione $\ alpha = 3t^3-2t $ e la seconda equazione $\ beta = t^2 - 1 $
possiamo dire che i parametri direttori della tangente alla curva nel punto dato sono dati da: $\ (alpha' (-1) , beta' (-1) ) = (7 , 2) $
Pertanto la retta cercata ha equazione $\ (x+1)/7 = y/(-2) $ ovvero $\ 2x + 7y + 2 = 0$
A questo punto, poichè nella maggioranza dei casi mi viene fornita una equazione cartesiana di una curva, vi chiedo se il procedimento per passare da eq. cartesiana a parametrica sia lo stesso che uso per le Rette.
Ve lo chiedo perchè la soluzione dell'esercizio sembra molto rapida qualora si abbia la curva in eq. parametriche.
Inoltre se il punto dato è un punto improprio della curva, posso seguire questo stesso procedimento?
Purtroppo ho una bella confusione ed ogni aiuto sarebbe apprezzato !
Poichè ho alcuni esercizi svolti vorrei cercare di capire il motivo per cui si segue quel procedimento.
Vi faccio un esempio:
"Determinare la tangente alla curva di equazioni parametriche date nel punto P(-1, 0)
$\{ ( x = 3t^3 -2t ),( y = t^2 - 1):}$
L'esercizio viene svolto sostituendo i valori di x ed y che si trovano nel sistema con quelli nel punto dato ( x= -1) ; (y = 0)
Troveremo così che il punto P si ottiene in corrispondenza del parametro t = -1
Ora, chiamando la prima equazione $\ alpha = 3t^3-2t $ e la seconda equazione $\ beta = t^2 - 1 $
possiamo dire che i parametri direttori della tangente alla curva nel punto dato sono dati da: $\ (alpha' (-1) , beta' (-1) ) = (7 , 2) $
Pertanto la retta cercata ha equazione $\ (x+1)/7 = y/(-2) $ ovvero $\ 2x + 7y + 2 = 0$
A questo punto, poichè nella maggioranza dei casi mi viene fornita una equazione cartesiana di una curva, vi chiedo se il procedimento per passare da eq. cartesiana a parametrica sia lo stesso che uso per le Rette.
Ve lo chiedo perchè la soluzione dell'esercizio sembra molto rapida qualora si abbia la curva in eq. parametriche.
Inoltre se il punto dato è un punto improprio della curva, posso seguire questo stesso procedimento?
Purtroppo ho una bella confusione ed ogni aiuto sarebbe apprezzato !
Risposte
Ciao ho letto questo topic e noto per prima cosa un'errore nel calcolo delle derivate che invece di $ (7,2) $ dovrebbero essere $ (7,-2) $
Poi secondo me confondi parametri direttori (l,m) e direzione ortogonale (a,b,0) di una retta piana. Inoltre aggiungo che non mi sembra poi così sbrigativo il calcolo della tangente alla curva in forma parametrica rispetto a quella cartesiana. Infatti si tratta di fare praticamente le stesse operazioni (nel caso si tratti di determinare la tangente alla curva su un punto non singolare, come questo che appunto ha molteplicità 1) e anzi si fa anche prima perchè esiste la formula magica:
$[(partial f(x,y))/(partial x)]_(x_P,y_P)(x-x_P) + [(partial f(x,y))/(partial y)]_(x_P,y_P)(y-y_P)=0$
che è direttamente l'equazione cartesiana della tangente alla curva nel punto semplice. (basta fare le derivate nel punto in pratica ed è finito tutto)
Ad ogni modo si può sempre passare dalle forme parametriche e quelle cartesiane ma l'operazione non sempre semplice, quindi (secondo me) a meno che il passaggio non sia ovvio oppure espressamente richiesto (che significa "fattibile") è meglio lasciare le cose come stanno.
Infine non capisco perchè c'è la necessità di cambiare nome ad "x" e "y" per trasformarli in $alpha$ e $beta$. Si tratta infatti delle derivate rispetto al parametro $x'(t); y'(t)$ (che poi vanno valutate nel punto di tangenza).
Il calcolo delle derivate non fornisce i parametri direttori ma la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
Ovvero si tratta delle componenti di un vettore parallelo alla tangente nel caso questo vettore ha forma
$v=(7,-2)$
Allora adesso non resta che trovare l'effettiva retta tangente, ovvero quella retta che oltre ad essere parallela a questo vettore passa per il punto in questione.
MODO1
Ci sono vari modi, uno può essere quello di scrivere l'equazione di una retta che ha la stessa direzione del vettore, in tal caso:
$ax+by+c=0$
I coefficienti (direzione della normale) sono imposte dal vettore ponendo $(b,-a)=(7,-2)$ quindi
$2x+7y+c=0$
Poi imponendo il passaggio per il punto di tangenza $(-1,0)$ si fissa $c$ arrivando a:
$2x+7y+2=0$
MODO 2
Oppure si può scrivere la retta tangente direttamente in parametriche:
$(x,y)=P+t(7,-2)=(-1,0)+t(7,-2)=(7t-1,-2t)$
Sostituendo vedrai che otterrai esattamente la stessa retta completa di termine noto.
In tal caso si scrive $t(7,-2)$ per indicare che la retta deve essere parallela al vettore, quindi proporzionale alle coordinate di questo.
PUNTI IMPROPRI
Se il punto dato è un punto improprio si tratta di passare per prima cosa a coordinate omogenee. In tal caso la curva ha in comune il punto improprio della retta tangente. Ci sono due casi:
1. Conosci la retta di tangenza
2. Conosci il punto improprio
Nel primo caso la direzione della retta ti fornirà il punto di tangenza all'infinito. Oppure trovi il punto all'infinito della retta data di tangenza (espressa in omogenee) intersecandola con l'asse improprio T=0.
Se invece conosci il punto improprio significa che conosci la direzione della retta tangenza, quindi ricavi la retta.
PRIMA PERO'...
Comunque per prima cosa devi sempre capire che tipo di punto è il punto da studiare: se appartiene alla curva oppure se è esterno, nel caso vi appartenga devi poi valutare le molteplicità di questo punto per capire se è un punto semplice (la curva ammette almeno una derivata parziale non nulla quando valutata nel punto in analisi) oppure singolare (la curva ha derivate parziali nulle se valutate nel punto in analisi). Nel caso di punto singolare devi capire la molteplicità di questo punto.
Per capire se un punto appartiene alla curva basta sostituire le sue coordinate nell'espressione della curva: se ottieni un'identità il punto giace sulla curva.
IL FASCIO
Le tangenti si possono trovare anche utilizzando un fascio di rette di centro il punto in analisi e vedere per quale coefficiente angolare il sistema intersezione "fascio-curva" è soddisfatto. In tal caso "m" va considerato come parametro.
Nel caso di una conica (curva di grado 2) il sistema di intersezione con il fascio di rette dà $2*1=2$ intersezioni (contate ognuna con la propria molteplicità), si arriva quindi di solito ad un'equazioni di 2° la tangente si trova imponendo che le soluzioni siano coincidenti, questo operativamente si fa ponendo $Delta=0$ e risolvendo per $m$. Adesso se il punto P è esterno alla conica si otterranno due valori distinti di $m$ sostituiti nell'equazione del fascio di rette, consentono di determinare le equazioni delle due rette tangenti. Se il punto P appartiene alla conica, si ottiene un solo valore di m (due valori coincidenti) che, sostituito nell'equazione del fascio, consente di determinare l’equazione della retta tangente.
Ricordati comunque che in generale per le curve, quando usi il fascio di rette, questo non prende in considerazione tutte le rette, infatti un fascio di equazione
$y-y_P=m(x-x_P)$
Non studia la retta con coefficiente $m=oo $ che per intenderci sono le rette verticali parallele all'asse y. Quindi dovresti avere cura di intersecare la curva anche con la retta esclusa, per inciso la retta esclusa dal fascio ha forma
$x=x_P$
Spiegare tutto è praticamente impossibile qui, ci serve la teoria...
Poi secondo me confondi parametri direttori (l,m) e direzione ortogonale (a,b,0) di una retta piana. Inoltre aggiungo che non mi sembra poi così sbrigativo il calcolo della tangente alla curva in forma parametrica rispetto a quella cartesiana. Infatti si tratta di fare praticamente le stesse operazioni (nel caso si tratti di determinare la tangente alla curva su un punto non singolare, come questo che appunto ha molteplicità 1) e anzi si fa anche prima perchè esiste la formula magica:
$[(partial f(x,y))/(partial x)]_(x_P,y_P)(x-x_P) + [(partial f(x,y))/(partial y)]_(x_P,y_P)(y-y_P)=0$
che è direttamente l'equazione cartesiana della tangente alla curva nel punto semplice. (basta fare le derivate nel punto in pratica ed è finito tutto)
Ad ogni modo si può sempre passare dalle forme parametriche e quelle cartesiane ma l'operazione non sempre semplice, quindi (secondo me) a meno che il passaggio non sia ovvio oppure espressamente richiesto (che significa "fattibile") è meglio lasciare le cose come stanno.
Infine non capisco perchè c'è la necessità di cambiare nome ad "x" e "y" per trasformarli in $alpha$ e $beta$. Si tratta infatti delle derivate rispetto al parametro $x'(t); y'(t)$ (che poi vanno valutate nel punto di tangenza).
Il calcolo delle derivate non fornisce i parametri direttori ma la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
Ovvero si tratta delle componenti di un vettore parallelo alla tangente nel caso questo vettore ha forma
$v=(7,-2)$
Allora adesso non resta che trovare l'effettiva retta tangente, ovvero quella retta che oltre ad essere parallela a questo vettore passa per il punto in questione.
MODO1
Ci sono vari modi, uno può essere quello di scrivere l'equazione di una retta che ha la stessa direzione del vettore, in tal caso:
$ax+by+c=0$
I coefficienti (direzione della normale) sono imposte dal vettore ponendo $(b,-a)=(7,-2)$ quindi
$2x+7y+c=0$
Poi imponendo il passaggio per il punto di tangenza $(-1,0)$ si fissa $c$ arrivando a:
$2x+7y+2=0$
MODO 2
Oppure si può scrivere la retta tangente direttamente in parametriche:
$(x,y)=P+t(7,-2)=(-1,0)+t(7,-2)=(7t-1,-2t)$
Sostituendo vedrai che otterrai esattamente la stessa retta completa di termine noto.
In tal caso si scrive $t(7,-2)$ per indicare che la retta deve essere parallela al vettore, quindi proporzionale alle coordinate di questo.
PUNTI IMPROPRI
Se il punto dato è un punto improprio si tratta di passare per prima cosa a coordinate omogenee. In tal caso la curva ha in comune il punto improprio della retta tangente. Ci sono due casi:
1. Conosci la retta di tangenza
2. Conosci il punto improprio
Nel primo caso la direzione della retta ti fornirà il punto di tangenza all'infinito. Oppure trovi il punto all'infinito della retta data di tangenza (espressa in omogenee) intersecandola con l'asse improprio T=0.
Se invece conosci il punto improprio significa che conosci la direzione della retta tangenza, quindi ricavi la retta.
PRIMA PERO'...
Comunque per prima cosa devi sempre capire che tipo di punto è il punto da studiare: se appartiene alla curva oppure se è esterno, nel caso vi appartenga devi poi valutare le molteplicità di questo punto per capire se è un punto semplice (la curva ammette almeno una derivata parziale non nulla quando valutata nel punto in analisi) oppure singolare (la curva ha derivate parziali nulle se valutate nel punto in analisi). Nel caso di punto singolare devi capire la molteplicità di questo punto.
Per capire se un punto appartiene alla curva basta sostituire le sue coordinate nell'espressione della curva: se ottieni un'identità il punto giace sulla curva.
IL FASCIO
Le tangenti si possono trovare anche utilizzando un fascio di rette di centro il punto in analisi e vedere per quale coefficiente angolare il sistema intersezione "fascio-curva" è soddisfatto. In tal caso "m" va considerato come parametro.
Nel caso di una conica (curva di grado 2) il sistema di intersezione con il fascio di rette dà $2*1=2$ intersezioni (contate ognuna con la propria molteplicità), si arriva quindi di solito ad un'equazioni di 2° la tangente si trova imponendo che le soluzioni siano coincidenti, questo operativamente si fa ponendo $Delta=0$ e risolvendo per $m$. Adesso se il punto P è esterno alla conica si otterranno due valori distinti di $m$ sostituiti nell'equazione del fascio di rette, consentono di determinare le equazioni delle due rette tangenti. Se il punto P appartiene alla conica, si ottiene un solo valore di m (due valori coincidenti) che, sostituito nell'equazione del fascio, consente di determinare l’equazione della retta tangente.
Ricordati comunque che in generale per le curve, quando usi il fascio di rette, questo non prende in considerazione tutte le rette, infatti un fascio di equazione
$y-y_P=m(x-x_P)$
Non studia la retta con coefficiente $m=oo $ che per intenderci sono le rette verticali parallele all'asse y. Quindi dovresti avere cura di intersecare la curva anche con la retta esclusa, per inciso la retta esclusa dal fascio ha forma
$x=x_P$
Spiegare tutto è praticamente impossibile qui, ci serve la teoria...
Ti ringrazio moltissimo dell'aiuto, ora cercherò di schiarirmi le idee; tengo solo a precisare che tutto lo svolgimento dell'esercizio è "ricopiato" da quello che ho trovato nel mio libro degli esercizi svolti. Infatti chiedevo aiuto nel capire perchè il professore seguiva quella procedura ma evidentemente si è dimostrata molto inesatta..
La procedura è corretta (a meno dell'errore nel calcolo della derivata parziale) ti ho solo spiegato "il perchè" della sequenza di calcoli. 
Adesso che mi dici che il testo è copiato capisco perchè ti sembra facile, infatti io non credo affatto sia semplice individuare il valore corretto di t, ovvero come dici tu
Ma per quanto ne so, per arrivare a dire che il parametro in P vale $-1$, dopo aver sostituito al sistema parametrico $x=-1$ e $y=0$ per determinare $t$ si devono risolvere entrambe le equazioni. Adesso una è semplicemente di secondo grado, mentre l'altra invece è di terzo grado, le soluzioni comuni (dato che si tratta di un sistema) indicheranno la $t$ corretta, che nel caso è $t=-1$
Credo che questo discorso vada sempre fatto per capre se la funzione esiste nel punto dato, voglio dire, e se il punto dato non fosse soluzione del sistema? Cioè, se non appartenesse alla curva? In tal caso non sarebbe ivi derivabile.
Ma magari mi sbaglio, quindi chiedo a te: Come hai fatto a determinare $t=-1$?
Adesso che mi dici che il testo è copiato capisco perchè ti sembra facile, infatti io non credo affatto sia semplice individuare il valore corretto di t, ovvero come dici tu
"undeadraven":
L'esercizio viene svolto sostituendo i valori di x ed y che si trovano nel sistema con quelli nel punto dato ( x= -1) ; (y = 0)
Troveremo così che il punto P si ottiene in corrispondenza del parametro t = -1
Ma per quanto ne so, per arrivare a dire che il parametro in P vale $-1$, dopo aver sostituito al sistema parametrico $x=-1$ e $y=0$ per determinare $t$ si devono risolvere entrambe le equazioni. Adesso una è semplicemente di secondo grado, mentre l'altra invece è di terzo grado, le soluzioni comuni (dato che si tratta di un sistema) indicheranno la $t$ corretta, che nel caso è $t=-1$
Credo che questo discorso vada sempre fatto per capre se la funzione esiste nel punto dato, voglio dire, e se il punto dato non fosse soluzione del sistema? Cioè, se non appartenesse alla curva? In tal caso non sarebbe ivi derivabile.
Ma magari mi sbaglio, quindi chiedo a te: Come hai fatto a determinare $t=-1$?
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