Curve caustiche e curve duali
Buongiorno,
sto approfondendo la dualità per curve piane, e mi sono imbattuto in un'interpretazione 'originale' del Teorema di bidualità, attraverso la nozione di curva caustica. Poichè il tutto mi è tuttora molto oscuro, provo ad esporvi il tutto nella speranza che possiate aiutarmi a fissare le idee.
Intanto alcune definizioni per introdurre il tutto:
Definizione: sia [tex]\mathbb{P}^*[/tex] il piano proiettivo duale di [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]: ogni retta di [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] individua un punto di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] e, viceversa, ogni retta di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] corrisponde ad un punto di[tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Data una curva [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex], consideriamo la totalità delle tangenti a [tex]C[/tex] : essa costituisce una nuova curva in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] , la cosiddetta curva duale [tex]C^*[/tex] .
Teorema di Bidualità: Per ogni curva proiettiva [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex], [tex](C^*)^* = C[/tex]. Inoltre, se [tex]p[/tex] è un punto semplice di [tex]C[/tex] e [tex]h[/tex] è un punto semplice di [tex]C^*[/tex] , allora [tex]h[/tex] è tangente a [tex]C[/tex] in [tex]p[/tex] se e solo se [tex]p[/tex], considerato come
una retta in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] , è tangente a [tex]C^*[/tex] in [tex]h[/tex].
Ora, dal libro Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants (qui il link alla pagina che cito) , riporto testualmente:
Per dare un senso intuitivo del Teorema di Bidualità in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] , esprimiamo la nozione di tangenza nel piano proiettivo duale [tex]\mathbb{P}^*[/tex] in termini del piano originale [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Per definizione, una retta tangente a una curva in qualche punto è la retta che contiene questo punto e che è infinitamente vicina alla curva nelle vicinanze di questo punto.
Nel nostro caso, un punto di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è una retta [tex]l \subset \mathbb{P}^2[/tex] . Una curva [tex]C[/tex] in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è una famiglia ad 1-parametro di rette in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Una retta in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è un fascio [tex]P^*[/tex] di tutte le rette in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] per un dato punto [tex]P[/tex] di [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] . La condizione che [tex]P^*[/tex] sia tangente a [tex]C[/tex] in [tex]l[/tex] significa che la retta [tex]l[/tex] è un membro della famiglia [tex]C[/tex] , il punto [tex]P[/tex] appartiene a [tex]l[/tex] e le altre rette di [tex]C[/tex] nelle vicinanze di [tex]l[/tex]sono infinitamente vicine al fascio [tex]P^*[/tex]. Questo è di solito espresso dicendo che [tex]P[/tex] è un punto caustico per la famiglia delle rette [tex]C[/tex] .
Si può immaginare che un raggio di luce di una certa intensità fissata stia percorrendo ogni retta di [tex]C[/tex] . Allora lo splendore totale della luce entrante in un piccolo intorno arbitrario di un punto caustico [tex]P[/tex] sarà infinito, sebbene ci sia solo un raggio (retta di [tex]C[/tex] ) che incontra il punto [tex]P[/tex] stesso. L’insieme di tutti i punti caustici della famiglia di rette C è di solito chiamato la caustica di C . Questa non è nient’altro che la curva duale proiettiva [tex]C^* \subset \mathbb{P}^2[/tex] .
Quindi il Teorema di Bidualità afferma che ogni curva coincide con la caustica della famiglia delle sue rette tangenti (inviluppo delle tangenti). Questo è intuitivamente ovvio.
La forma ”duale” di questo teorema è meno ovvia: essa afferma che ogni famiglia a 1-parametro [tex]C[/tex] di rette in [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] consiste di rette tangenti a qualche curva in [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] e questa curva è la caustica di [tex]C[/tex] . Un esempio di famiglia a 1-parametro di rette, che non provengono, a priori, da rette tangenti a qualche curva, ma a posteriori sì, è dato dalla riflessione di un raggio di luce parallelo in uno specchio curvo.
Dunque, ora chiedo: la curva caustica di cui si parla coincide con la meglio conosciuta curva che in fisica altro non è che l'inviluppo dei raggi riflessi da una superficie curva, e provenienti da una sorgente luminosa? O forse che la duale di una curva altro non è che la caustica della curva stessa, nel senso 'fisico' di cui sopra?
E poi, perchè dovrebbe risultare 'intuitivamente ovvio' il fatto che ogni curva coincida con la caustica delle sue rette tangenti (perchè a quanto si coglie, il testo definisce la curva caustica a partire da una famiglia di rette ad 1-parametro, che poi queste determinino una curva quale loro inviluppo è un altro paio di maniche) ?
Infine, la forma duale di cui sopra mi appare sinceramente altrettanto ovvia: banalmente ogni famiglia ad un parametro di rette sono la famiglia di tangenti di qualche curva. Dove sbaglio?
Spero che qualcuno possa aiutarmi con qualche spiegazione illuminante.
Vi ringrazio per la pazienza e la gentilezza con cui avete letto il tutto.
sto approfondendo la dualità per curve piane, e mi sono imbattuto in un'interpretazione 'originale' del Teorema di bidualità, attraverso la nozione di curva caustica. Poichè il tutto mi è tuttora molto oscuro, provo ad esporvi il tutto nella speranza che possiate aiutarmi a fissare le idee.
Intanto alcune definizioni per introdurre il tutto:
Definizione: sia [tex]\mathbb{P}^*[/tex] il piano proiettivo duale di [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]: ogni retta di [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] individua un punto di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] e, viceversa, ogni retta di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] corrisponde ad un punto di[tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Data una curva [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex], consideriamo la totalità delle tangenti a [tex]C[/tex] : essa costituisce una nuova curva in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] , la cosiddetta curva duale [tex]C^*[/tex] .
Teorema di Bidualità: Per ogni curva proiettiva [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex], [tex](C^*)^* = C[/tex]. Inoltre, se [tex]p[/tex] è un punto semplice di [tex]C[/tex] e [tex]h[/tex] è un punto semplice di [tex]C^*[/tex] , allora [tex]h[/tex] è tangente a [tex]C[/tex] in [tex]p[/tex] se e solo se [tex]p[/tex], considerato come
una retta in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] , è tangente a [tex]C^*[/tex] in [tex]h[/tex].
Ora, dal libro Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants (qui il link alla pagina che cito) , riporto testualmente:
Per dare un senso intuitivo del Teorema di Bidualità in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] , esprimiamo la nozione di tangenza nel piano proiettivo duale [tex]\mathbb{P}^*[/tex] in termini del piano originale [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Per definizione, una retta tangente a una curva in qualche punto è la retta che contiene questo punto e che è infinitamente vicina alla curva nelle vicinanze di questo punto.
Nel nostro caso, un punto di [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è una retta [tex]l \subset \mathbb{P}^2[/tex] . Una curva [tex]C[/tex] in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è una famiglia ad 1-parametro di rette in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex]. Una retta in [tex]\mathbb{P}^*[/tex] è un fascio [tex]P^*[/tex] di tutte le rette in [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] per un dato punto [tex]P[/tex] di [tex]C \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] . La condizione che [tex]P^*[/tex] sia tangente a [tex]C[/tex] in [tex]l[/tex] significa che la retta [tex]l[/tex] è un membro della famiglia [tex]C[/tex] , il punto [tex]P[/tex] appartiene a [tex]l[/tex] e le altre rette di [tex]C[/tex] nelle vicinanze di [tex]l[/tex]sono infinitamente vicine al fascio [tex]P^*[/tex]. Questo è di solito espresso dicendo che [tex]P[/tex] è un punto caustico per la famiglia delle rette [tex]C[/tex] .
Si può immaginare che un raggio di luce di una certa intensità fissata stia percorrendo ogni retta di [tex]C[/tex] . Allora lo splendore totale della luce entrante in un piccolo intorno arbitrario di un punto caustico [tex]P[/tex] sarà infinito, sebbene ci sia solo un raggio (retta di [tex]C[/tex] ) che incontra il punto [tex]P[/tex] stesso. L’insieme di tutti i punti caustici della famiglia di rette C è di solito chiamato la caustica di C . Questa non è nient’altro che la curva duale proiettiva [tex]C^* \subset \mathbb{P}^2[/tex] .
Quindi il Teorema di Bidualità afferma che ogni curva coincide con la caustica della famiglia delle sue rette tangenti (inviluppo delle tangenti). Questo è intuitivamente ovvio.
La forma ”duale” di questo teorema è meno ovvia: essa afferma che ogni famiglia a 1-parametro [tex]C[/tex] di rette in [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] consiste di rette tangenti a qualche curva in [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{C})[/tex] e questa curva è la caustica di [tex]C[/tex] . Un esempio di famiglia a 1-parametro di rette, che non provengono, a priori, da rette tangenti a qualche curva, ma a posteriori sì, è dato dalla riflessione di un raggio di luce parallelo in uno specchio curvo.
Dunque, ora chiedo: la curva caustica di cui si parla coincide con la meglio conosciuta curva che in fisica altro non è che l'inviluppo dei raggi riflessi da una superficie curva, e provenienti da una sorgente luminosa? O forse che la duale di una curva altro non è che la caustica della curva stessa, nel senso 'fisico' di cui sopra?
E poi, perchè dovrebbe risultare 'intuitivamente ovvio' il fatto che ogni curva coincida con la caustica delle sue rette tangenti (perchè a quanto si coglie, il testo definisce la curva caustica a partire da una famiglia di rette ad 1-parametro, che poi queste determinino una curva quale loro inviluppo è un altro paio di maniche) ?
Infine, la forma duale di cui sopra mi appare sinceramente altrettanto ovvia: banalmente ogni famiglia ad un parametro di rette sono la famiglia di tangenti di qualche curva. Dove sbaglio?
Spero che qualcuno possa aiutarmi con qualche spiegazione illuminante.
Vi ringrazio per la pazienza e la gentilezza con cui avete letto il tutto.
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