Curve biregolari

[louis101]

ciao a tutti, ho problemi a capire come la biregolarità di una curva possa essere equivalente al fatto di avere accelerazione non nulla su tutto il dominio del parametro. riporto qui cosa dicono gli appunti da cui sto studiando

una curva biregolare è una curva $alpha:I to bbbR^3$ di classe almeno $C^2$ tale che $alpha'(t) wedge alpha''(t) ne 0$ $forall t in I$

se $s$ è un altro parametro (in particolare $s$ è l'ascissa curvilinea) sappiamo che vale

$d/dt alpha(t)=d/(ds) alpha(s(t)) s'(t)$

quindi (indicando con il punto la derivata rispetto a $t$ e con primo la derivata rispetto a $s$) abbiamo che

$dot{alpha}=c alpha'$ con $c$ scalare che dipende dal parametro $t$

qui i miei appunti dicono:

$ddot{alpha}(t)= d/dt (c alpha')= (dc)/dt alpha' + c d/dt alpha'=(dc)/dt alpha' + c alpha''$

poichè $alpha' cdot alpha''=0$ e $alpha' ne 0$ allora la biregolarità è equivalente a $alpha'' ne 0$

come si giustifica l'ultima affermazione?

io ho provato a calcolare $dot{alpha}(t) wedge ddot{alpha}(t)$ e si ha

$dot{alpha}(t) wedge ddot{alpha}(t)=(dc)/dt (dot{alpha} wedge alpha') + c(dot{alpha} wedge alpha'')$

so che $dot{alpha}$ e $alpha'$ sono proporzionali per cui il loro prodotto vettoriale darà il vettore nullo, ma poi?

[Studente Anonimo]

Allora. Si ottiene facilmente:

$dot \alpha ^^ ddot alpha = {d\alpha} / {ds} {ds}/{dt} ^^ (d/{dt} {d\alpha}/{ds}) {ds}/{dt} != 0$

da cui:

${d\alpha} / {ds} ^^ {d^2\alpha} / {ds^2} {ds} / {dt} != 0$.

Ora, poiché ${d\alpha} / {ds}$ è non nullo (la curva è regolare), deve essere ${d^2\alpha} / {ds^2} !=0$ (il caso con angolo nullo o piatto e l'accelerazione non nulla è escluso dal fatto che velocità ed accelerazione sono ortogonali, se la curva è parametrizzata dalla sua ascissa curvilinea $s$).

[louis101]

perfetto, grazie mille

[Studente Anonimo]