Curve
ciao!
sto studiando gli integrali curvilinei di 1 specie e mi chiedevo se c'è un metodo corretto per la parametrizzazione di una curva.
Se qualcuno ha un link su cui questo argomento è spiegato bene magari anche con degli esempi ,accetto tutto!
sto studiando gli integrali curvilinei di 1 specie e mi chiedevo se c'è un metodo corretto per la parametrizzazione di una curva.
Se qualcuno ha un link su cui questo argomento è spiegato bene magari anche con degli esempi ,accetto tutto!
Risposte
che io sappia, non esiste un'unico metodo per parametrizzare una curva...
esso viene scelto un base a come ti può "essere utile" dopo...
ciao
esso viene scelto un base a come ti può "essere utile" dopo...
ciao
"Ogni curva ammette infinite rappresentazioni parametriche": questo è uno dei primi risultati della teoria delle curve parametrizzete che si studia in Analisi.
Per quanto riguarda la scelta tra diverse r.p., tutto dipende dalla convenienza: il più delle volte conviene rappresentare la circonferenza unitaria usando la r.p. polare $thetain [0,2pi] to (cos theta, sin theta) in RR^2$; altre volte può tornare utile pensarla come unione dei grafici delle funzioni $x in [-1,1] to pmsqrt(1-x^2) in RR$; od infine può essere necessario ricorrere alla rappresentazione implicita $x^2+y^2=1$. Tutto dipende da cosa devi fare con la curva che hai sotto mano.
Per quanto riguarda la scelta tra diverse r.p., tutto dipende dalla convenienza: il più delle volte conviene rappresentare la circonferenza unitaria usando la r.p. polare $thetain [0,2pi] to (cos theta, sin theta) in RR^2$; altre volte può tornare utile pensarla come unione dei grafici delle funzioni $x in [-1,1] to pmsqrt(1-x^2) in RR$; od infine può essere necessario ricorrere alla rappresentazione implicita $x^2+y^2=1$. Tutto dipende da cosa devi fare con la curva che hai sotto mano.
per esempio non riesco a parametrizzare la curva formata da un arco di circonferenza di raggio 2 tra il I quadrante(tutto) ed il IV quadrante(qui si ferma quando incontra la retta y=-x.
la curva mi viene disegnata su un grafico,e quetsi sono tutti i dati che possiedo per parametrizzarla al fine di svolgere un integrale curvilineo.
come devo procedere?
la curva mi viene disegnata su un grafico,e quetsi sono tutti i dati che possiedo per parametrizzarla al fine di svolgere un integrale curvilineo.
come devo procedere?
per esempio puoi prendere $alpha_1: [0,pi] rarr RR^2$ e $alpha_1(t)=(2costheta, 2sintheta)$ poi puo prendere per il secondo arco $alpha_2: [pi, 5/4pi] rarr RR^2$ e $alpha_2(t)=(2costheta, 2sintheta)$
spero di essere stato di aiuto.. ciao ciao
spero di essere stato di aiuto.. ciao ciao
Scusa jetstripa, per trovare una r.p. comoda della tua curva puoi usare la r.p. polare con polo in $(0,0)$ e semiasse polare quello delle $x$ positive: ti basta determinare i due angoli formati col semiasse polare dai segmenti congiungenti i due estremi dell'arco con il polo.
Se gli estremi dell'arco $Gamma$ sono i punti $B=(0,1)$ e $A=(sqrt2,-sqrt2)$ e l'arco si trova tutto nel semipiano $xge 0$, allora gli angoli che i segmenti $bar(OA), bar(OB)$ formano col semiasse polare sono, rispettivamente, $-pi/4$ e $pi/2$, onde una r.p. dell'arco è:
$alpha(theta)=(2*cos theta, 2*sin theta) quad$ con $quad theta in [-pi/4,pi/2]$.
Una rappresentazione insiemistica dell'arco $Gamma$ parametrizzato da $alpha$ è $Gamma={(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, xge 0, y+xge0}$. Questa è una r.p. corretta se $Gamma$ attraversa solo il quadrante I "fermandosi a metà" del IV.
Le r.p. individuate da Domè89 (che possono benissimo essere "fuse" in un sola $beta(theta)=(2*costheta, 2*sin theta)$ con $theta in [0,5/4pi]$) hanno come sostegno tutt'altro arco, ossia $Lambda={(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, yge 0}cup{(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, y+xle0}$, che attraversa i quadranti I, II, III e si "ferma a metà" del IV.
A te decidere quale r.p. sia quella che t'interessa.
Se gli estremi dell'arco $Gamma$ sono i punti $B=(0,1)$ e $A=(sqrt2,-sqrt2)$ e l'arco si trova tutto nel semipiano $xge 0$, allora gli angoli che i segmenti $bar(OA), bar(OB)$ formano col semiasse polare sono, rispettivamente, $-pi/4$ e $pi/2$, onde una r.p. dell'arco è:
$alpha(theta)=(2*cos theta, 2*sin theta) quad$ con $quad theta in [-pi/4,pi/2]$.
Una rappresentazione insiemistica dell'arco $Gamma$ parametrizzato da $alpha$ è $Gamma={(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, xge 0, y+xge0}$. Questa è una r.p. corretta se $Gamma$ attraversa solo il quadrante I "fermandosi a metà" del IV.
Le r.p. individuate da Domè89 (che possono benissimo essere "fuse" in un sola $beta(theta)=(2*costheta, 2*sin theta)$ con $theta in [0,5/4pi]$) hanno come sostegno tutt'altro arco, ossia $Lambda={(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, yge 0}cup{(x,y) in RR^2:quad x^2+y^2=4, y+xle0}$, che attraversa i quadranti I, II, III e si "ferma a metà" del IV.
A te decidere quale r.p. sia quella che t'interessa.
ciao a tutti!
la rappresentazione più adeguata al mio esercizio,(o meglio l'unica che penso sia corretta per l'esercizio in questione)mi sembra quello di gugo82,in quanto il mio arco parte da $pi/2$ e arriva in $-pi/4$.
la seconda rappresentazione insimistica di gugo non l'ho capita:
cosa c'entra $x+y>=0$?
io avrei scritto:
$lambda=[(x,y)inRR^2 : x^2+y^2<=4,0<=x<=2,-sqrt2/2<=y<=2]$
ma la sto buttando lì,premetto che fino alle vostre risposte,ignoravo alla radice il metodo per rappresentare la curva!
domè89 credo che abbia rappresentato l'altra parte del cerchio,escludendo il mio arco.
mi chiedo:
potrei spezzare la curva in due curve?
ci provo,vediamo che viene fuori!
$lambda(t)=lambda_1(t)+lambda_2(t)$
$lambda_1(t)=(2cost,2sent)$ con $t in [0,pi/2]$
$lambda_2(t)=(2cost,2sent)$ con $t in [-pi/4,0]$
potrebbe andare?
un'altra domanda:
per il verso di percorenza?
io ho scritto quello che ho scritto tentando di rappresntare un verso antiorario delle due curve.....
la rappresentazione più adeguata al mio esercizio,(o meglio l'unica che penso sia corretta per l'esercizio in questione)mi sembra quello di gugo82,in quanto il mio arco parte da $pi/2$ e arriva in $-pi/4$.
la seconda rappresentazione insimistica di gugo non l'ho capita:
cosa c'entra $x+y>=0$?
io avrei scritto:
$lambda=[(x,y)inRR^2 : x^2+y^2<=4,0<=x<=2,-sqrt2/2<=y<=2]$
ma la sto buttando lì,premetto che fino alle vostre risposte,ignoravo alla radice il metodo per rappresentare la curva!
domè89 credo che abbia rappresentato l'altra parte del cerchio,escludendo il mio arco.
mi chiedo:
potrei spezzare la curva in due curve?
ci provo,vediamo che viene fuori!
$lambda(t)=lambda_1(t)+lambda_2(t)$
$lambda_1(t)=(2cost,2sent)$ con $t in [0,pi/2]$
$lambda_2(t)=(2cost,2sent)$ con $t in [-pi/4,0]$
potrebbe andare?
un'altra domanda:
per il verso di percorenza?
io ho scritto quello che ho scritto tentando di rappresntare un verso antiorario delle due curve.....
[asvg]axes ( );
arc ( [2 , 0] , [0 , 2] , 2 );
plot ( "-x");
arc ( [1.4 , -1.4] , [2 , 0] , 2 );[/asvg]
wow!ce l'ho fatta!
questo è il grafico,spero che sia chiaro a tutti ora!
arc ( [2 , 0] , [0 , 2] , 2 );
plot ( "-x");
arc ( [1.4 , -1.4] , [2 , 0] , 2 );[/asvg]
wow!ce l'ho fatta!
questo è il grafico,spero che sia chiaro a tutti ora!
ho 2 domande stupide da porre,scusatemi in anticipo:
1) perchè il seno ed il coseno nel caso dell'arco vengono moltiplicati per 2?
non sarà mica il raggio......è una regola?
2)il punto che gugo ha scritto $A=(-sqrt2,sqrt2)$ :non ho capito come lo ha fatto a scrivere. non manca qualcosa...??seno e coseno di 45° non fa radice di 2 su due?
1) perchè il seno ed il coseno nel caso dell'arco vengono moltiplicati per 2?
non sarà mica il raggio......è una regola?
2)il punto che gugo ha scritto $A=(-sqrt2,sqrt2)$ :non ho capito come lo ha fatto a scrivere. non manca qualcosa...??seno e coseno di 45° non fa radice di 2 su due?
Calma e sangue freddo. Molti dei tuoi dubbi si possono chiarire se riguardiamo come viene costruita la r.p. polare della circonferenza.
Sappiamo (dal corso di Geometria I, di solito) che l'equazione della circonferenza con centro in $(x_0,y_0) in RR^2$ e raggio $r>0$ è data in forma implicita da $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Dividendo per $r^2$ ambo i membri trovi la relazione:
a) $quad ((x-x_0)/r)^2+((y-y_0)/r)^2=1$
da cui ricavi due proprietà delle coordinate $(x,y)$ dei punti della circonferenza di raggio $r$ e centro $(x_0,y_0)$:
1) almeno uno dei due rapporti $(x-x_0)/r,(y-y_0)/r$ è non nullo;
2) risulta sempre $((x-x_0)/r)^2,((y-y_0)/r)^2le 1$ cosicché si ha $-1le (x-x_0)/r, (y-y_0)/r le 1$;
a questo punto ricordi che le stesse proprietà valgono pre le funzioni $cos theta, sin theta$ lungo tutto l'asse reale, nel senso che comunque si fissi $theta in RR$, risulta:
I) almeno uno dei due valori $cos theta, sin theta$ è non nullo;
II) risulta $-1le cos theta, sin theta le1$;
inoltre anche per le due funzioni trigonometriche vale l'identità:
A) $quad cos^2 theta+ sin^2 theta=1$.
Il confronto di a, 1, 2) con A, I, II) ti fa pensare che sia lecito scrivere:
$\{((x-x_0)/r=cos theta),((y-y_0)/r=sin theta):} quad => quad \{(x=x_0+r*cos theta),(y=y_0+r*sin theta):}$;
ecco, le due uguaglianze che figurano al secondo membro dell'implicazione precedente costituiscono la r.p. della circonferenza di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r>0$; il parametro $theta$ può variare liberamente in tutto $RR$. Per verificare la correttezza della r.p.trovata puoi andare a sostituire le $x,y$ che abbiamo appena trovato nella rappresentazione implicita della circonferenza.
==========
Ci chiediamo quale sia il singificato del parametro $theta$. Ebbene, per capirlo, fissiamo $(x_0,y_0)=(0,0)$ (prendiamo il centro della nostra circonferenza nell'origine $O$ degli assi) ed $r=1$; scegliamo poi un punto $P=(x,y)$ sulla circonferenza. Per quanto detto poco sopra, le coordinate del punto $P$ possono sicuramente scriversi utilizzando la r.p. trovata, cosicché esiste almeno un valore di $theta in RR$ tale che $P=(cos theta, sin theta)$.
Tracciamo il segmento $bar(OP)$ e diciamo $alpha$ l'angolo formato da tale segmento col semiasse positivo dell'asse delle ascisse $x$: tale angolo lo possiamo prendere compreso tra $0$ e $2pi$.
Visto che la circonferenza ha raggio unitario, sappiamo che le proiezioni del segmento $bar(OP)$ sugli assi coordinati rappresentano, rispettivamente, il coseno ed il seno dell'angolo $alpha$: però è evidente che tali proiezioni altro non sono che le coordinate del punto $P$ e ciò implica che risulta:
$\{(cos theta=cos alpha),(sin theta=sin alpha):} quad => quad theta=alpha +2k pi, quad k in ZZ$,
onde ogni valore del parametro $theta$ che individua $P$ differisce dall'angolo $alpha$ per un multiplo intero di $2pi$.
Facendo $k=0$, si capisce che il parametro $theta$ si può identificare proprio con l'angolo $alpha$ compreso tra il semiasse delle $x$ positive ed il segmento $bar(OP)$.
Siamo così giunti alla nostra conclusione: se si sceglie di far variare il parametro $theta$ nell'intervallo $[0,2pi]$ allora $theta$ rappresenta l'angolo compreso tra il semiasse delle $x$ positive (semiasse polare) ed il segmento congiungente $P=(cos theta, sin theta)$ col centro della circonferenza.
==========
Domandiamoci ora quale sia il verso di percorrenza della circonferenza di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r>0$ indotto dalla r.p. $(x_0+r*cos theta,y_0+r*sin theta)$.
Come prima, fissiamo per semplicità $(x_0,y_0)=(0,0)$ ed $r=1$ e scegliamo di far variare $theta$ in $[0,2pi]$.
Al valore $theta=0$ corrisponde il punto iniziale $A=(1,0)$ della nostra r.p. $(cos theta, sin theta)$, mentre, ad esempio, al valore $theta=pi/2$ corrisponde il punto $B=(0,1)$. Ora, facendo aumentare mano mano $theta$ da $0$ a $pi/2$, vediamo che il punto variabile $P=(cos theta, sin theta)$ "parte" da $A$ e "giunge" in $B$: ne deduciamo che il verso di percorrenza indotto dalla nostra r.p. è quello che "porta $A$ in $B$", ossia il verso antiorario.
Spero di averti fatto capire qualcosa che ti era sfuggito.
Sta a te aprire il libro di Analisi e studiare il resto.
Sappiamo (dal corso di Geometria I, di solito) che l'equazione della circonferenza con centro in $(x_0,y_0) in RR^2$ e raggio $r>0$ è data in forma implicita da $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$. Dividendo per $r^2$ ambo i membri trovi la relazione:
a) $quad ((x-x_0)/r)^2+((y-y_0)/r)^2=1$
da cui ricavi due proprietà delle coordinate $(x,y)$ dei punti della circonferenza di raggio $r$ e centro $(x_0,y_0)$:
1) almeno uno dei due rapporti $(x-x_0)/r,(y-y_0)/r$ è non nullo;
2) risulta sempre $((x-x_0)/r)^2,((y-y_0)/r)^2le 1$ cosicché si ha $-1le (x-x_0)/r, (y-y_0)/r le 1$;
a questo punto ricordi che le stesse proprietà valgono pre le funzioni $cos theta, sin theta$ lungo tutto l'asse reale, nel senso che comunque si fissi $theta in RR$, risulta:
I) almeno uno dei due valori $cos theta, sin theta$ è non nullo;
II) risulta $-1le cos theta, sin theta le1$;
inoltre anche per le due funzioni trigonometriche vale l'identità:
A) $quad cos^2 theta+ sin^2 theta=1$.
Il confronto di a, 1, 2) con A, I, II) ti fa pensare che sia lecito scrivere:
$\{((x-x_0)/r=cos theta),((y-y_0)/r=sin theta):} quad => quad \{(x=x_0+r*cos theta),(y=y_0+r*sin theta):}$;
ecco, le due uguaglianze che figurano al secondo membro dell'implicazione precedente costituiscono la r.p. della circonferenza di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r>0$; il parametro $theta$ può variare liberamente in tutto $RR$. Per verificare la correttezza della r.p.trovata puoi andare a sostituire le $x,y$ che abbiamo appena trovato nella rappresentazione implicita della circonferenza.
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Ci chiediamo quale sia il singificato del parametro $theta$. Ebbene, per capirlo, fissiamo $(x_0,y_0)=(0,0)$ (prendiamo il centro della nostra circonferenza nell'origine $O$ degli assi) ed $r=1$; scegliamo poi un punto $P=(x,y)$ sulla circonferenza. Per quanto detto poco sopra, le coordinate del punto $P$ possono sicuramente scriversi utilizzando la r.p. trovata, cosicché esiste almeno un valore di $theta in RR$ tale che $P=(cos theta, sin theta)$.
Tracciamo il segmento $bar(OP)$ e diciamo $alpha$ l'angolo formato da tale segmento col semiasse positivo dell'asse delle ascisse $x$: tale angolo lo possiamo prendere compreso tra $0$ e $2pi$.
Visto che la circonferenza ha raggio unitario, sappiamo che le proiezioni del segmento $bar(OP)$ sugli assi coordinati rappresentano, rispettivamente, il coseno ed il seno dell'angolo $alpha$: però è evidente che tali proiezioni altro non sono che le coordinate del punto $P$ e ciò implica che risulta:
$\{(cos theta=cos alpha),(sin theta=sin alpha):} quad => quad theta=alpha +2k pi, quad k in ZZ$,
onde ogni valore del parametro $theta$ che individua $P$ differisce dall'angolo $alpha$ per un multiplo intero di $2pi$.
Facendo $k=0$, si capisce che il parametro $theta$ si può identificare proprio con l'angolo $alpha$ compreso tra il semiasse delle $x$ positive ed il segmento $bar(OP)$.
Siamo così giunti alla nostra conclusione: se si sceglie di far variare il parametro $theta$ nell'intervallo $[0,2pi]$ allora $theta$ rappresenta l'angolo compreso tra il semiasse delle $x$ positive (semiasse polare) ed il segmento congiungente $P=(cos theta, sin theta)$ col centro della circonferenza.
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Domandiamoci ora quale sia il verso di percorrenza della circonferenza di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r>0$ indotto dalla r.p. $(x_0+r*cos theta,y_0+r*sin theta)$.
Come prima, fissiamo per semplicità $(x_0,y_0)=(0,0)$ ed $r=1$ e scegliamo di far variare $theta$ in $[0,2pi]$.
Al valore $theta=0$ corrisponde il punto iniziale $A=(1,0)$ della nostra r.p. $(cos theta, sin theta)$, mentre, ad esempio, al valore $theta=pi/2$ corrisponde il punto $B=(0,1)$. Ora, facendo aumentare mano mano $theta$ da $0$ a $pi/2$, vediamo che il punto variabile $P=(cos theta, sin theta)$ "parte" da $A$ e "giunge" in $B$: ne deduciamo che il verso di percorrenza indotto dalla nostra r.p. è quello che "porta $A$ in $B$", ossia il verso antiorario.
Spero di averti fatto capire qualcosa che ti era sfuggito.
Sta a te aprire il libro di Analisi e studiare il resto.
che posso dire......WOW!
una spiegazione semplice,chiara e lineare che mi fa solo vergognare... :0)
cmq grazie,mi hai spolverato la memoria e ho fatto una figura a dir poco pietosa!!!!
ho dimenticato le basi,tipo che
$x=Rcos(pi/4)=2 sqrt2/2=sqrt2$
grazie mille!
una spiegazione semplice,chiara e lineare che mi fa solo vergognare... :0)
cmq grazie,mi hai spolverato la memoria e ho fatto una figura a dir poco pietosa!!!!
ho dimenticato le basi,tipo che
$x=Rcos(pi/4)=2 sqrt2/2=sqrt2$
grazie mille!
si, scusa, non avevo ben capito la seconda parte di arco... comunque vorrei fare i mie complimenti a Gugo per la chiarezza...
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