Curvature principali di varietà $n$-dimensionali
Ho una varietà $n$-dimensionale $S\subset RR^(n+1)$ ($n>=2$) di equazione:
$F(x,y):=|x|-f(|y|)=0 \quad$,
ove $(x,y):=(x_1,\ldots, x_n,y)$ è il generico punto di $RR^(n+1)$ ed $f$ è una funzione non negativa, non crescente, a supporto compatto ed almeno di classe $C^1$ a tratti tale che $f(0)>0$.
Praticamente, detto $[0,L]$ il supporto di $f$, $S$ è la superficie di rotazione che si ottiene facendo ruotare il grafico della funzione $phi: [-L,L]\to RR , phi(t):=f(|t|)$ attorno alla retta di $RR^(n+1)$ di equazioni $\{x_1=0,x_2=0,\ldots ,x_n=0:}$ (asse delle $y$).
Mi chiedevo: come determinare le curvature principali di $S$?
Per ragionare localmente probabilmente l'ipotesi che $f$ sia $C^1$ a tratti deve essere rafforzata, quindi diciamo pure che $f$ è $C^2$ (e casomai vedo di indebolire la cosa dopo).
Ora, devo per forza ricorrere alla Gauss map ed al suo differenziale?
Oppure c'è qualche considerazione che "semplifica la vita"?
Ho pensato che, essendo $S$ di rotazione, almeno $n-1$ curvature devono essere unitarie mentre la $n$-esima deve dipendere in qualche modo da $f$ (ad esempio, dalla curvatura del grafico di $f$ che è $(f'')/(\sqrt(1+(f')^2))^3$, se non sbaglio)... Che dite?
Riporto un po' di calcoli che ho fatto.
Supponiamo $y>0$, così da eliminare un valore assoluto. La direzione normale ad $S$ in $(x,y)$ è data da $\nabla F(x,y):=(x/(|x|),-f'(y))$, quindi il versore normale esterno è:
$nu (x,y):=1/(|\nabla F(x,y)|)*\nabla F(x,y)=(x/(|x|\sqrt(1+(f'(y))^2)),-(f'(y))/\sqrt(1+(f'(y))^2))$
Per ottenere un'espressione in coordinate del differenziale della Gauss map avrei bisogno di una buona parametrizzazione di $S$ (o di $S\cap RR_+^(n+1)$): l'intuizione suggerisce una rappresentazione di tipo polare:
$X(t,u):=\{(x=f(t)*u),(y=t):}$
ove $t\in [0,L]$ ed $u \in S^(n-2)$, però poi derivarla diventa un casino (come derivo le componenti di $u$?); per non parlare poi del prodotto matriciale $"d"\nu *"d" X$...
Qualcuno che mi aiuti?
$F(x,y):=|x|-f(|y|)=0 \quad$,
ove $(x,y):=(x_1,\ldots, x_n,y)$ è il generico punto di $RR^(n+1)$ ed $f$ è una funzione non negativa, non crescente, a supporto compatto ed almeno di classe $C^1$ a tratti tale che $f(0)>0$.
Praticamente, detto $[0,L]$ il supporto di $f$, $S$ è la superficie di rotazione che si ottiene facendo ruotare il grafico della funzione $phi: [-L,L]\to RR , phi(t):=f(|t|)$ attorno alla retta di $RR^(n+1)$ di equazioni $\{x_1=0,x_2=0,\ldots ,x_n=0:}$ (asse delle $y$).
Mi chiedevo: come determinare le curvature principali di $S$?
Per ragionare localmente probabilmente l'ipotesi che $f$ sia $C^1$ a tratti deve essere rafforzata, quindi diciamo pure che $f$ è $C^2$ (e casomai vedo di indebolire la cosa dopo).
Ora, devo per forza ricorrere alla Gauss map ed al suo differenziale?
Oppure c'è qualche considerazione che "semplifica la vita"?
Ho pensato che, essendo $S$ di rotazione, almeno $n-1$ curvature devono essere unitarie mentre la $n$-esima deve dipendere in qualche modo da $f$ (ad esempio, dalla curvatura del grafico di $f$ che è $(f'')/(\sqrt(1+(f')^2))^3$, se non sbaglio)... Che dite?
Riporto un po' di calcoli che ho fatto.
Supponiamo $y>0$, così da eliminare un valore assoluto. La direzione normale ad $S$ in $(x,y)$ è data da $\nabla F(x,y):=(x/(|x|),-f'(y))$, quindi il versore normale esterno è:
$nu (x,y):=1/(|\nabla F(x,y)|)*\nabla F(x,y)=(x/(|x|\sqrt(1+(f'(y))^2)),-(f'(y))/\sqrt(1+(f'(y))^2))$
Per ottenere un'espressione in coordinate del differenziale della Gauss map avrei bisogno di una buona parametrizzazione di $S$ (o di $S\cap RR_+^(n+1)$): l'intuizione suggerisce una rappresentazione di tipo polare:
$X(t,u):=\{(x=f(t)*u),(y=t):}$
ove $t\in [0,L]$ ed $u \in S^(n-2)$, però poi derivarla diventa un casino (come derivo le componenti di $u$?); per non parlare poi del prodotto matriciale $"d"\nu *"d" X$...
Qualcuno che mi aiuti?
Risposte
Problema di comprensione (o forse di definizione): cosa intendi per curvature principali di una superficie $n$-dimensionale?
Edit: sorry, ho capito!
Edit: sorry, ho capito!
Chiamo curvature principali in $P=(x,y)$ di una varietà di dimensione $n$ in $RR^(n+1)$ gli autovalori del differenziale della Gauss map (detto anche Weingarten map) in $P$ o, equivalentemente, gli autovalori della seconda forma fondamentale $"II"_P(v,w)$ rispetto alla prima forma fondamentale $"I"_P(v,w)$ in $P$.
Allora, io ho fatto un paio di calcoli... ma mi sono reso conto di aver pensato il tutto da un punto di vista di geometria riemmaniana generale. In pratica mi sono andato a calcolare le curvature sezionali e la curvatura scalare. Ti va bene? Così ricontrollo il tutto e ti scrivo quello che mi è venuto fuori.
Avevo fatto una cosa del genere ai miei studenti di Istituzioni di Geometria Superiore lo scorso anno, mi pare che dimostri pure per via sintetica che su una superficie di rotazione le direzioni principali sono le direzioni dei meridiani e dei paralleli.
Grazie ciampax per averci perso un po' di tempo.
Se mi riportassi qualche risultato mi faresti contento; poi cerco di proseguire da me.
@Luca: Su una superficie siamo d'accordo che le cose vadano così (le avevo studiate pure io in Geometria III)... Il problema è che non ho sufficiente dimestichezza con le varietà $(n-1)$-dimensionali in spazi di dimensione $n>3$ per affermare che questo sia vero in generale.
Se mi riportassi qualche risultato mi faresti contento; poi cerco di proseguire da me.
@Luca: Su una superficie siamo d'accordo che le cose vadano così (le avevo studiate pure io in Geometria III)... Il problema è che non ho sufficiente dimestichezza con le varietà $(n-1)$-dimensionali in spazi di dimensione $n>3$ per affermare che questo sia vero in generale.
Oki, dammi un paio di giorni (ora sono in fase correzione esami e preparazione lezioni) e ti scrivo quello che mi è venuto!
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