Curvature principali di una curva
Dovrei determinare le curvature principali della curva $xy=z^2+z$ nell'origine.
Io ho provato a fare in questo modo, ma la procedura non mi torna.
Prima si parametrizza la curva.
Io l'ho parametrizzata come $x=sent, y=sent+1,z=sent$.
Si calcola la prima forma fondamentale G che è il prodotto della jacobiana trasposta per la jacobiana. Ottengo una matrice 2x2 con nel posto (1,1) $3cos^2t$, negli altri posti lo zero.
Ora devo calcolare la seconda forma fondamentale B.
Dovrebbe venirmi una matrice 2x2, ma mi viene una matrice 6x2... e quindi potreste gentilmente dirmi come faccio a costruire questa seconda forma? Perché non devo avere capito come si fa e non trovo esempi (inoltre N in B, cioè il prodotto vettoriale fra le derivate parziali secondo la prima nuova variabile e secondo la seconda nuova variabile mi viene nullo quindi B mi verrebbe una matrice tutta nulla di dimensioni 6x2...)
Non so davvero come risolvere questo punto.
[I passi successivi dovrebbero essere restringere B e G all'origine, calcolare il prodotto fra B e l'inversa di G, trovare gli autovalori di questo prodotto e questi autovalori sono le curvature principali]
Io ho provato a fare in questo modo, ma la procedura non mi torna.
Prima si parametrizza la curva.
Io l'ho parametrizzata come $x=sent, y=sent+1,z=sent$.
Si calcola la prima forma fondamentale G che è il prodotto della jacobiana trasposta per la jacobiana. Ottengo una matrice 2x2 con nel posto (1,1) $3cos^2t$, negli altri posti lo zero.
Ora devo calcolare la seconda forma fondamentale B.
Dovrebbe venirmi una matrice 2x2, ma mi viene una matrice 6x2... e quindi potreste gentilmente dirmi come faccio a costruire questa seconda forma? Perché non devo avere capito come si fa e non trovo esempi (inoltre N in B, cioè il prodotto vettoriale fra le derivate parziali secondo la prima nuova variabile e secondo la seconda nuova variabile mi viene nullo quindi B mi verrebbe una matrice tutta nulla di dimensioni 6x2...)
Non so davvero come risolvere questo punto.
[I passi successivi dovrebbero essere restringere B e G all'origine, calcolare il prodotto fra B e l'inversa di G, trovare gli autovalori di questo prodotto e questi autovalori sono le curvature principali]
Risposte
Che cos'è la seconda forma fondamentale di una curva?
Dovrebbe essere formata dalle derivate parziali seconde di x, y, z rispetto a t in alto a sinistra (quindi mi viene un vettore colonna di tre componenti), le derivate parziali seconde di x, y,z,rispetto a t e a u in alto a sinistra (quindi mi viene un vettore colonna nullo di tre componenti). Questo stesso vettore in basso a sinistra. E in basso a destra la derivata parziale seconda di x y z rispetto a u (e mi viene un vettore da tre componenti nulle). Questa matrice la moltiplico per N (che è il versore alla superficie nel punto).
Potresti dirmi cosa sbaglio?
Potresti dirmi cosa sbaglio?
No, è che non capisco questa definizione; la seconda forma fondamentale contiene le derivate seconde della parametrizzazione di una superficie, a meno di non capire come adattarla non cè modo di farlo per una curva.
Scusami, non capisco. Quindi come dovrei uscirne da questo esercizio?
Boh?
Per una superficie $S$ parametrizzata da $\underline r(u,v) : RR^2\to RR^3$ quello che fai è prendere il versore normale alla superficie,
\[ \underline n = \frac{\underline r_u \land \underline r_v }{\|\underline r_u \land \underline r_v\|} \] dove \(r_u \land r_v\) è il prodotto vettoriale delle colonne dello jacobiano di $r$. A questo punto la seconda forma fondamentale è
\[
\mathbb{I}\!\mathbb{I} :=
\begin{pmatrix}
\underline n \cdot \underline r_{uu} & \underline n \cdot \underline r_{uv}\\
\underline n \cdot \underline r_{vu} & \underline n \cdot \underline r_{vv}
\end{pmatrix}
\] mi viene da pensare che una generalizzazione a dimensione arbitraria, data una ipersuperficie $S\subseteq RR^n$ parametrizzata da $\underline r(u_1,...,u_{n-1})$ sia quella di considerare il versore normale $\underline n$ alla superficie, ottenuto come il prodotto cross delle colonne dello jacobiano di $\underline r$, normalizzato ad avere lunghezza 1; a questo punto si considera la matrice la cui entrata $i,j$ è la proiezione della derivata seconda $\partial_{ij}\underline r$ lungo la direzione di $\underline n$, ovvero il prodotto scalare $\underline n \cdot \partial_{ij}\underline r$.
Siccome la tua curva è di dimensione 1 in $RR^3$, non ho idea di come adattare questa costruzione.
Per una superficie $S$ parametrizzata da $\underline r(u,v) : RR^2\to RR^3$ quello che fai è prendere il versore normale alla superficie,
\[ \underline n = \frac{\underline r_u \land \underline r_v }{\|\underline r_u \land \underline r_v\|} \] dove \(r_u \land r_v\) è il prodotto vettoriale delle colonne dello jacobiano di $r$. A questo punto la seconda forma fondamentale è
\[
\mathbb{I}\!\mathbb{I} :=
\begin{pmatrix}
\underline n \cdot \underline r_{uu} & \underline n \cdot \underline r_{uv}\\
\underline n \cdot \underline r_{vu} & \underline n \cdot \underline r_{vv}
\end{pmatrix}
\] mi viene da pensare che una generalizzazione a dimensione arbitraria, data una ipersuperficie $S\subseteq RR^n$ parametrizzata da $\underline r(u_1,...,u_{n-1})$ sia quella di considerare il versore normale $\underline n$ alla superficie, ottenuto come il prodotto cross delle colonne dello jacobiano di $\underline r$, normalizzato ad avere lunghezza 1; a questo punto si considera la matrice la cui entrata $i,j$ è la proiezione della derivata seconda $\partial_{ij}\underline r$ lungo la direzione di $\underline n$, ovvero il prodotto scalare $\underline n \cdot \partial_{ij}\underline r$.
Siccome la tua curva è di dimensione 1 in $RR^3$, non ho idea di come adattare questa costruzione.
Del resto è abbastanza ovvio: puoi costruire un riferimento intrinseco sulla curva (mi pare si chiami "di Frenet" o qualcosa del genere) ma una volta dato un vettore tangente hai sempre una indeterminazione nello scegliere una base del piano ortogonale a quel vettore tangente: è possibile che si possa risolvere questa indeterminazione (dati due vettori del riferimento, il terzo è univocamente determinato dall'esserne il prodotto vettoriale), e del resto non saprei come. Se dovessi fare un'ipotesi, direi che per ogni punto prendi il vettore che unisce il punto al centro della circonferenza che oscula la curva. Del resto, ovviamente, non avrei idea di come dimostrare che tale circonferenza esiste ed è unica (per le rette non è unica, ma è unica la retta che il suo ruolo in questa costruzione determina).
Ma secondo me l'incomprensione è più banale.
$xy=z^2+z$ è l'equazione di una superficie in $RR^3$ no?
$xy=z^2+z$ è l'equazione di una superficie in $RR^3$ no?
Sì, è una quadrica.
E perchè l'hai chiamata curva finora? E perchè l'hai paramettrizzata con un sol parametro?
Quindi mi viene nulla perché ho parametrizzato con un solo parametro, mentre avrei dovuto usarne due?
Cioè se la parametrizzo come x=sentcosu, y=sentcosu+1, z=sentcosu, la seconda forma non dovrebbe venirmi nulla. Per il resto l'idea del procedimento era giusta? Cioè inverto G e ottengo una matrice 2x2, B mi viene una matrice 6x2, le moltiplico e ottengo una matrice 6x2 e qui non saprei come proseguire perché avevo capito che dopo averle moltiplicate gli autovalori erano le curvature principali, ma come posso calcolarlo in una matrice non quadrata? Non mi torna che B venga 6x2.
Cioè se la parametrizzo come x=sentcosu, y=sentcosu+1, z=sentcosu, la seconda forma non dovrebbe venirmi nulla. Per il resto l'idea del procedimento era giusta? Cioè inverto G e ottengo una matrice 2x2, B mi viene una matrice 6x2, le moltiplico e ottengo una matrice 6x2 e qui non saprei come proseguire perché avevo capito che dopo averle moltiplicate gli autovalori erano le curvature principali, ma come posso calcolarlo in una matrice non quadrata? Non mi torna che B venga 6x2.
La parametrizzazione è sbagliata. (non so come ci sei arrivato, hai messo seni e coseni a caso?)
Non so cosa sia $B$, ma se intendi la seconda forma fondamentale allora è una matrice quadrata $2 \times 2$, non so perchè ti viene quella dimensione strana.
Per favore, puoi dare un'occhiata ad un libro prima di scrivere ancora? Poi se non capisci vabbè, ma almeno riflettici 2 secondi.
Va bene anche wikipedia nel peggiore dei casi.
Non so cosa sia $B$, ma se intendi la seconda forma fondamentale allora è una matrice quadrata $2 \times 2$, non so perchè ti viene quella dimensione strana.
Per favore, puoi dare un'occhiata ad un libro prima di scrivere ancora? Poi se non capisci vabbè, ma almeno riflettici 2 secondi.
Va bene anche wikipedia nel peggiore dei casi.
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