Curvatura come limite dell'inverso del raggio.

[alinrf]

Data $\alpha: I \to RR^2$ curva piana biregolare, parametrizzata da lunghezza d'arco, come definizione di curvatura ho $k(s)=||ddot \alpha(s)||$
Mi si chiede di dimostrare che $k(s_0)=lim_(s->s_0)1/(r(s))$, o equivalentemente che $1/(k(s_0))=lim_(s->s_0)r(s)$, dove $r(s)$ è il raggio della circonferenza $C_s$ tangente alla curva in $\alpha(s_0)$ e passante per $\alpha(s)$.


Ho prima cercato di calcolarmi analiticamente il valore di $r(s)$, come distanza tra il centro $c(s)$ della circonferenza $C_s$ e ad esempio il punto $\alpha(s_0)$, però i conti diventano veramente ingestibili.
Poi ho pensato di mettermi in coordinate più comode, cioè di fare i conti rispetto alle coordinate mobili ${T(s_0), N(s_0)}$, ma come prima non sono riuscito ad andare avanti. Penso comunque che non sia questo il senso dell'esercizio.

Quindi avrei bisogno di qualche suggerimento, di qualche idea su come aggredire il problema.
Grazie in anticipo!

[Sk_Anonymous]

Puoi calcolare quel raggio più agevolmente mediante queste semplici considerazioni geometriche:

$[\bar{AB}=\bar{AC}sinu] rarr [\bar{AB}=2Rsinu] rarr [R=\bar{AB}/(2sinu)] rarr [R=\bar{AB}/(2vect^^vec(AB)/(\bar{AB}))] rarr [R=\bar{AB}^2/(2vect^^vec(AB))] rarr$

$rarr [R=((x(s)-x(s_0))^2+(y(s)-y(s_0))^2)/(2(dotx(s_0)(y(s)-y(s_0))-doty(s_0)(x(s)-x(s_0))))]$

Non ho compreso pienamente quale risultato tu voglia ottenere facendone il limite, in ogni modo:

$\lim_{s->s_0}((x(s)-x(s_0))^2+(y(s)-y(s_0))^2)/(2(dotx(s_0)(y(s)-y(s_0))-doty(s_0)(x(s)-x(s_0))))=$

$\lim_{s->s_0}((x(s)-x(s_0))^2+(y(s)-y(s_0))^2)/(2dotx(s_0)doty(s_0)(s-s_0)+dotx(s_0)ddoty(s_0)(s-s_0)^2-2dotx(s_0)doty(s_0)(s-s_0)-ddotx(s_0)doty(s_0)(s-s_0)^2+o((s-s_0)^2))=$

$\lim_{s->s_0}((x(s)-x(s_0))^2+(y(s)-y(s_0))^2)/((s-s_0)^2(dotx(s_0)ddoty(s_0)-ddotx(s_0)doty(s_0)+o(1)))=$

$\lim_{s->s_0}(((x(s)-x(s_0))/(s-s_0))^2+((y(s)-y(s_0))/(s-s_0))^2)/(dotx(s_0)ddoty(s_0)-ddotx(s_0)doty(s_0)+o(1))=(dotx^2(s_0)+doty^2(s_0))/(dotx(s_0)ddoty(s_0)-ddotx(s_0)doty(s_0))$