Curva regolare e lunghezza
Ciao a tutti,
in un esercizio di prova per l'esame mi viene chiesto quanto segue:
Data la curva $\delta(t): { (x=cost),(y=sint),(z=e^t):} $ determinare se è regolare ed eventualmente la sua lunghezza. t=[1,3].
Dunque, io avrei fatto così:
Prendendo la definizione di curva regolare sappiamo che una curva è regolare se:
1) le derivate delle 3 funzioni sono continue.
2) chiamando le tre derivate a,b,c (per comodità nello scrivere qui nel forum) : $sqrt(a^2 + b^2 + c^2)$ sempre positivo nel dominio.
le derivate sono: $x'=-sint$ $y'=cost$ $z'=e^t$.
Le 3 derivate sono sempre continue e sono sempre positive. I punti 1 e 2 sono rispettati quindi la curva è regolare.
Per calcolare la lunghezza devo calcolare la seguente formula: $int_a^b sqrt(x'^2 + y'2 + z'^2) dt $
quindi mi viene: $int_1^3 sqrt(sin^2t + cos^2t + e^(2t)) dr$. ovvero: $int_1^3 sqrt(1+ e^(2t)) dt$.
Vado a calcolarmi il mio integrale: $int sqrt(1+ e^(2t)) dt$ facendolo per scomposizione:
ponendo $u=sqrt(e^2t+1)$ mi ricavo prima $2t=ln|u^2 -1|$. e poi $2dt = (2u)/(u^2-1) du$.
Vado a sostituire: $int u (2u)/(u^2-1) 1/2 du $ ovvero: $int u^2/(u^2-1) du$.
il quale integrale dovrebbe tornare così: $sqrt(e^2t-1) + arctg(sqrt(e^2t-1) -1) + K$.
$int_1^3 (sqrt(e^2t +1) +arctg(sqrt(e^2t+1) -1) + C$
qualcuno mi può dire se è giusto lo svolgimento? grazie
in un esercizio di prova per l'esame mi viene chiesto quanto segue:
Data la curva $\delta(t): { (x=cost),(y=sint),(z=e^t):} $ determinare se è regolare ed eventualmente la sua lunghezza. t=[1,3].
Dunque, io avrei fatto così:
Prendendo la definizione di curva regolare sappiamo che una curva è regolare se:
1) le derivate delle 3 funzioni sono continue.
2) chiamando le tre derivate a,b,c (per comodità nello scrivere qui nel forum) : $sqrt(a^2 + b^2 + c^2)$ sempre positivo nel dominio.
le derivate sono: $x'=-sint$ $y'=cost$ $z'=e^t$.
Le 3 derivate sono sempre continue e sono sempre positive. I punti 1 e 2 sono rispettati quindi la curva è regolare.
Per calcolare la lunghezza devo calcolare la seguente formula: $int_a^b sqrt(x'^2 + y'2 + z'^2) dt $
quindi mi viene: $int_1^3 sqrt(sin^2t + cos^2t + e^(2t)) dr$. ovvero: $int_1^3 sqrt(1+ e^(2t)) dt$.
Vado a calcolarmi il mio integrale: $int sqrt(1+ e^(2t)) dt$ facendolo per scomposizione:
ponendo $u=sqrt(e^2t+1)$ mi ricavo prima $2t=ln|u^2 -1|$. e poi $2dt = (2u)/(u^2-1) du$.
Vado a sostituire: $int u (2u)/(u^2-1) 1/2 du $ ovvero: $int u^2/(u^2-1) du$.
il quale integrale dovrebbe tornare così: $sqrt(e^2t-1) + arctg(sqrt(e^2t-1) -1) + K$.
$int_1^3 (sqrt(e^2t +1) +arctg(sqrt(e^2t+1) -1) + C$
qualcuno mi può dire se è giusto lo svolgimento? grazie
Risposte
nessuno mi sa dare una risposta? 
Non mi torna il calcolo dell'integrale: parti dalla sostituzione $u=\sqrt{e^{2t}+1}$, pertanto se $t=1\to u=\sqrt{e^2+1}$ e se $t=3\to u=\sqrt{e^6+1}$. A questo punto l'integrale diventa, chiamando $a=\sqrt{e^2+1},\ b=\sqrt{e^6+1}$ per semplicità
$\int_a^b\frac{u^2}{u^2-1}\ du=\int_a^b\frac{u^2-1+1}{u^2-1}\ du=\int_a^b du+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=b-a+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}$
L'integranda rimasta si decompone in fratti semplici come $\frac{1}{u^2-1}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}$ ed è facile vedere che $A=1/2,\ B=-1/2$: pertanto
$\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=1/2\int_a^b[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}]\ du=[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$
Poi è una questione di sostituzioni e conti algebrici.
$\int_a^b\frac{u^2}{u^2-1}\ du=\int_a^b\frac{u^2-1+1}{u^2-1}\ du=\int_a^b du+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=b-a+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}$
L'integranda rimasta si decompone in fratti semplici come $\frac{1}{u^2-1}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}$ ed è facile vedere che $A=1/2,\ B=-1/2$: pertanto
$\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=1/2\int_a^b[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}]\ du=[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$
Poi è una questione di sostituzioni e conti algebrici.
Scusami ma se io metto $u=sqrt(e^(2t)+1)$ t non può essere uno nel senso che: $u^2=e^(2t)+1$ quindi $e^(2t) =u^2 -1$
no?
no?
Poi non ho capito perché al posto di 1 e 3 hai messo la radice con tutto il suo contenuto nell'integrale... o.O
lorenzo, se $t=1$ allora $u=\sqrt{e^{2\cdot 1}+1}=\sqrt{e^2+1}$. Analogamente con $t=3$. Ho fatto questo perché la regola di sostituzione negli integrali definiti dice che se $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ è una trasformazione regolare monotona crescente per cui $x=\varphi(t)$ allora
$\int_a^b f(x)\ dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\ \varphi'(t)\ dt$
P.S.: ho corretto sopra il primo valore. Una cosa: ma tu la teoria la studi? Perché a me pare proprio di no! Non puoi fare esercizi senza conoscere bene la teoria!
$\int_a^b f(x)\ dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\ \varphi'(t)\ dt$
P.S.: ho corretto sopra il primo valore. Una cosa: ma tu la teoria la studi? Perché a me pare proprio di no! Non puoi fare esercizi senza conoscere bene la teoria!
"ciampax":
lorenzo, se $t=1$ allora $u=\sqrt{e^{2\cdot 1}+1}=\sqrt{e^2+1}$. Analogamente con $t=3$. Ho fatto questo perché la regola di sostituzione negli integrali definiti dice che se $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ è una trasformazione regolare monotona crescente per cui $x=\varphi(t)$ allora
$\int_a^b f(x)\ dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\ \varphi'(t)\ dt$
P.S.: ho corretto sopra il primo valore. Una cosa: ma tu la teoria la studi? Perché a me pare proprio di no! Non puoi fare esercizi senza conoscere bene la teoria!
Faccio quel che posso! è ovvio che ho studiato anche la teoria perché sennò non potrei fare nulla ma è anche pur vero che comunque non la potrò mai sapere come uno che "gioca" con la matematica tutti i giorni, senza considerare il fatto che al liceo ho avuto un professore talmente scarso che non ho imparato nulla e che all'uni non mi hanno mai fatto piacere questa materia.
Quindi è ovvio che mi mancano certe basi, o per lo meno la sicurezza dei miei mezzi. Rimango consapevole che non sono bravo nè tantomeno so la matematica ma cerco comunque di impegnarmi.
Detto questo, non capisco come mai non ti torna il mio integrale.
se ho questo integrale: $int sqrt(1+e^(2t)) dt la cosa migliore mi sembra quella per scomposizione no?
Io ho posto la radice uguale ad u, quindi se voglio ricavarmi la t dentro per forza di cose dovrò elevare al quadrato ambo i membri no?
Inoltre non capisco proprio perché tu abbia dovuto fare un integrale per a e per b quando ho tranquillamente i miei valori.
Sinceramente non ti sto seguendo a me sembrava di averlo fatto bene, e tra l'altro confrontando la soluzione con wolfram alpha mi sembrava che tornasse... avevo scritto qua perché un conto è la valutazione di un sito web e un conto è di un ragazzo esperto di matematica.. .
"l0r3nzo":
...senza considerare il fatto che al liceo ho avuto un professore talmente scarso che non ho imparato nulla e che all'uni non mi hanno mai fatto piacere questa materia.
OT
scusa se mi permetto di nuovo, ma dare sempre la colpa ad altri non ti porta da nessuna parte...
fine OT
EDIT:... o forse sei sulla buona strada per diventare un dirigente
"itpareid":
OT
scusa se mi permetto di nuovo, ma dare sempre la colpa ad altri non ti porta da nessuna parte...
fine OT
EDIT:... o forse sei sulla buona strada per diventare un dirigente
OT
concordo, non volevo dire che è colpa tutta di quel prof, solo che quando perdi anni preziosi per imparare (anche se non si è consapevoli di ciò, almeno io non lo ero) e poi ti ritrovi in università dove vanno come treni fai molta fatica. Io ci ho messo troppo a passare matematica 1 perché mi mancavano le basi. il 70% era colpa mia perché comunque al liceo non studiavo, ma il 30% è anche colpa del vecchietto che non la sapeva la matematica.
fine OT
lorenzo non so che dirti: io la soluzione corretta dell'integrale te l'ho scritta. Più di così, non posso aiutarti. Riguarda quello che ho scritto, ripensaci e vedi di arrivare alla conclusione.
$\int_a^b\frac{u^2}{u^2-1}\ du=\int_a^b\frac{u^2-1+1}{u^2-1}\ du=\int_a^b du+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=b-a+\int_a^b\frac{du}{u^2-1}$
L'integranda rimasta si decompone in fratti semplici come $\frac{1}{u^2-1}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}$ ed è facile vedere che $A=1/2,\ B=-1/2$: pertanto
$\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=1/2\int_a^b[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}]\ du=[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$
Poi è una questione di sostituzioni e conti algebrici.[/quote]
Ho ricontrollato i conti. L'integrale viene così, ho sbagliato la formula
tra l'altro è anche notevole quello...
però te ti sei scordato, oltre a questo pezzo, $[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$ il b-a o sbaglio? cioè dovrebbe essere $b-a + [1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$.
Quello che veramente non capisco, cioè che è un discorso che non ho mai letto prima d'ora, è la tua prima parte, ovvero questo:
questo passaggio proprio non lo capsico. il resto si.
L'integranda rimasta si decompone in fratti semplici come $\frac{1}{u^2-1}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}$ ed è facile vedere che $A=1/2,\ B=-1/2$: pertanto
$\int_a^b\frac{du}{u^2-1}=1/2\int_a^b[\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}]\ du=[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$
Poi è una questione di sostituzioni e conti algebrici.[/quote]
Ho ricontrollato i conti. L'integrale viene così, ho sbagliato la formula
tra l'altro è anche notevole quello... però te ti sei scordato, oltre a questo pezzo, $[1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$ il b-a o sbaglio? cioè dovrebbe essere $b-a + [1/2\log|\frac{u-1}{u+1}|]_a^b$.
Quello che veramente non capisco, cioè che è un discorso che non ho mai letto prima d'ora, è la tua prima parte, ovvero questo:
"ciampax":
Non mi torna il calcolo dell'integrale: parti dalla sostituzione $u=\sqrt{e^{2t}+1}$, pertanto se $t=1\to u=\sqrt{e^2+1}$ e se $t=3\to u=\sqrt{e^6+1}$. A questo punto l'integrale diventa, chiamando $a=\sqrt{e^2+1},\ b=\sqrt{e^6+1}$ per semplicità
questo passaggio proprio non lo capsico. il resto si.
Lo avevo scritto prima $b-a$, dopo ho solo calcolato l'integrale. Per quel pezzo che non capisci, il ragionamento è questo: se trasformi la variabile $t$ nella variabile $u$ cambieranno anche gli estremi, ti pare? Allora se un estremo vale $t=1$ quando sostituisci otterrai il nuovo estremo $u=\sqrt{e^{2\cdot 1}+1}=\sqrt{e^2+1}$. Analogamente per l'altro.
adesso ho capito il tuo ragionamento, il fatto è che non l'avevo mai trovato questo procedimento anche perché il cambio di variabile io lo faccio solamente per risolvere l'integrale, in quel caso indefinito, per poi reinserire la variabile una volta trovato l'integrale.
non so se hai capito il mio ragionamento... spero di si
non so se hai capito il mio ragionamento... spero di si
Sì, ho capito. Ma esiste una formula di cambiamento di variabile anche per gli integrali definiti (che è quella che ti ho scritto) che andrebbe usata così come te l'ho posta. Ad esempio: supponi di dover calcolare un integrale definito con la sostituzione seguente $t=\sqrt{x^2+\log x-\sin x}$: la mia domanda è, credi, una volta risolto l'integrale in $t$, di riuscire a tornare alla variabile $x$ facilmente? Se invece sostituisci gli estremi di integrazione per la $x$ con quelli analoghi per la $t$ non hai bisogno del passaggio inverso.
Adesso ho capito tutto! non ero a conoscenza di quest'altra formula. Stamperò questa conversazione così che nel caso dovessi riscontrare una cosa simile (al mio scritto si possono tenere gli appunti) la utilizzerò.
grazie!
grazie!
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