Curva razionale

[nato_pigro1]

Provare che la curva piana $C$ di equazioni $(x^2+y^2)^2=xy$ è razionale.


Trovare delle equazioni parametriche non sono in grado... c'è un altro modo?

[Camillo]

Cosa significa esattamente che una curva è razionale ? ogni punto della curva ha coordinate razionali ?

[nato_pigro1]

non lo so di preciso...
ho cercato un po' su internet e c'è poco.

Sui miei appunt si parla di "trasformata razionale di una curva piana", però la definisce partendo come parametrica

in $RR^3$
$L:\{(x=\theta_1(u,v)),(y=\theta_2(u,v)),(z=\theta_3(u,v)),(g(u,v)=0):}

[mistake89]

Una curva si dice razione se esistono $A(lambda,mu),B(lambda,mu),C(lambda,mu) in CC[lambda,mu]$ omogenei tali che ogni punto semplice di $C^n$ ha coordinate $(x^1,x^2,x^3)$ tali che $\{(rhox^1=A(lambda,mu)),(rhox^2=B(lambda,mu)),(rhox^3=C(lambda,mu)):}$ con $(A(lambda,mu),B(lambda,mu),C(lambda,mu)) ne (0,0,0)$.
In pratica si richiede che un punto $P$ si possa scrivere come $k(P)=phi_2(A(lambda,mu),B(lambda,mu),C(lambda,mu))$

Più utile hai tuoi fini è però questa proposizione:
Una curva è razionale se e solo se il suo genere è 0.

Dove il genere è il numero ottenuto in questo modo $((n-1)(n-2))/2 - delta - k$ ove $delta="punti doppi ordinari"$ e $k="punti doppi cuspidali di prima specie"$ ed $n$ il rango della curva, nel tuo caso 4. Osserva che un tacnodo corrisponde a 2 doppi ordinari, mentre un oxnodo a 3 doppi ordinari

[nato_pigro1]

con "rango" intendi "grado"?

e il genere non ha a che fare con questo?
http://it.wikipedia.org/wiki/Genere_%28matematica%29

[mistake89]

Sisi intendevo il grado di una curva...
quanto al genere credo sia un concetto più generale, ma io l'ho studiato solo a proposito delle curve algebriche.