Curva Piana
Ciao!
Come faccio a stabilire che la curva L: \(\displaystyle x= 2t^2, y=1-2t^2, z=e^t\) così definita è piana?
Grazie molte!
Come faccio a stabilire che la curva L: \(\displaystyle x= 2t^2, y=1-2t^2, z=e^t\) così definita è piana?
Grazie molte!
Risposte
Sai cos'è la torsione?
Purtroppo, i miei ricordi sono un po' annebbiati..
In effeti, ora che mi parli di torsione mi è venuto in mente che per vedere se una curva parametrica è piana basta verificare che la torsione sia nulla (\(\displaystyle \tau =0 \)). Però non ricordo più molto bene come fare per calcolare \(\displaystyle \tau \) .
Ciò che ricordo è che:
\(\displaystyle t= \gamma'/|\gamma'| \)
\(\displaystyle t \wedge n\), dove \(\displaystyle n \) normale alla curva
\(\displaystyle |\tau| = d b/ds\) dove \(\displaystyle s \) è la lunghezza dell'arco di curva
Ho provato però a fare i conti ma mi ingarbuglio un po'... Mi sapresti dare una mano? Ti ringrazio..
In effeti, ora che mi parli di torsione mi è venuto in mente che per vedere se una curva parametrica è piana basta verificare che la torsione sia nulla (\(\displaystyle \tau =0 \)). Però non ricordo più molto bene come fare per calcolare \(\displaystyle \tau \) .
Ciò che ricordo è che:
\(\displaystyle t= \gamma'/|\gamma'| \)
\(\displaystyle t \wedge n\), dove \(\displaystyle n \) normale alla curva
\(\displaystyle |\tau| = d b/ds\) dove \(\displaystyle s \) è la lunghezza dell'arco di curva
Ho provato però a fare i conti ma mi ingarbuglio un po'... Mi sapresti dare una mano? Ti ringrazio..
Si può procedere anche elementarmente al seguente modo .
Si supponga che esista una piano, di equazione \(\displaystyle ax+by+cz+d=0 \), contenente la curva. Affinché questo succeda, quel piano deve contenere ogni punto della curva, ovvero deve essere soddisfatta l'equazione :
\(\displaystyle a(2t^2)+b(1-2t^2)+c(e^t)+d=0 \)
per qualsiasi valore di t.
Si scriva l'equazione così :
(1) \(\displaystyle (2a-2b)t^2+(c)e^t+(b+d)=0 \)
Affinché la condizione predetta sia verificata, devono essere nulli tutti i coefficienti della (1) :
\(\displaystyle \begin{cases}2a-2b=0\\c=0\\b+d=0\end{cases} \)
da cui la soluzione \(\displaystyle a=b,c=0,d=-b \) che sostituita nell'equazione del piano dà il risultato :
\(\displaystyle bx+by-b=0 \) ovvero \(\displaystyle x+y-1=0 \)
Esiste dunque un piano contenente la curva che risulta quindi piana.
Si supponga che esista una piano, di equazione \(\displaystyle ax+by+cz+d=0 \), contenente la curva. Affinché questo succeda, quel piano deve contenere ogni punto della curva, ovvero deve essere soddisfatta l'equazione :
\(\displaystyle a(2t^2)+b(1-2t^2)+c(e^t)+d=0 \)
per qualsiasi valore di t.
Si scriva l'equazione così :
(1) \(\displaystyle (2a-2b)t^2+(c)e^t+(b+d)=0 \)
Affinché la condizione predetta sia verificata, devono essere nulli tutti i coefficienti della (1) :
\(\displaystyle \begin{cases}2a-2b=0\\c=0\\b+d=0\end{cases} \)
da cui la soluzione \(\displaystyle a=b,c=0,d=-b \) che sostituita nell'equazione del piano dà il risultato :
\(\displaystyle bx+by-b=0 \) ovvero \(\displaystyle x+y-1=0 \)
Esiste dunque un piano contenente la curva che risulta quindi piana.
Grazie! Quest'ultima soluzione mi sembra più semplice...
Grazie anche a Seneca per i documenti che ho letto e ho trovato molto utili.. In particolare, ho cercato di seguire le indicazioni in essi contenuto per il calcolo di \(\displaystyle \tau \) ma devo sbagliare qualcosa perchè non mi viene \(\displaystyle \tau=0 \) e quindi non mi viene una curva piana.
Magari, vi scrivo qui di seguito i passaggi che ho fatto così mi potete indicare dove sbaglio..
Per calcolare \(\displaystyle \tau \) ho considerato:
\(\displaystyle \tau(t) = - \tfrac{|det(\gamma'(t)\gamma''(t)\gamma'''(t)|}{\parallel \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) \parallel^2} \)
dove \(\displaystyle \gamma(t)=(2t^2, 1-2t^2, e^t \), \(\displaystyle \gamma'(t)=(4t, -4t, e^t) \), \(\displaystyle \gamma''(t)=(4, -4, e^t) \), \(\displaystyle \gamma'''(t)=(0, 0, e^t) \)
allora ho calcolato:
\(\displaystyle |det(\gamma'(t)\gamma''(t)\gamma'''(t)| = \begin{vmatrix} 4t & 4 & 0 \\ -4t & -4 & 0 \\ e^t & e^t & e^t \end{vmatrix} = 16e^t \)
\(\displaystyle \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4t & -4t & e^t \\ 4 & -4 & e^t \end{vmatrix} = i(-4te^t +4e^t) -j(4te^t -4e^t) \)
\(\displaystyle \parallel \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) \parallel^2 = 2e^{2t} (4t-4)^2\)
\(\displaystyle \tau(t) = - \tfrac{16e^t}{2e^{2t} (4t-4)^2} \)
e quindi mi rimane la dipendenza da t e non mi viene \(\displaystyle \tau=0 \). Dove sbaglio?
Vi ringrazio cmq molto per l'aiuto che mi state dando...
Grazie anche a Seneca per i documenti che ho letto e ho trovato molto utili.. In particolare, ho cercato di seguire le indicazioni in essi contenuto per il calcolo di \(\displaystyle \tau \) ma devo sbagliare qualcosa perchè non mi viene \(\displaystyle \tau=0 \) e quindi non mi viene una curva piana.
Magari, vi scrivo qui di seguito i passaggi che ho fatto così mi potete indicare dove sbaglio..
Per calcolare \(\displaystyle \tau \) ho considerato:
\(\displaystyle \tau(t) = - \tfrac{|det(\gamma'(t)\gamma''(t)\gamma'''(t)|}{\parallel \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) \parallel^2} \)
dove \(\displaystyle \gamma(t)=(2t^2, 1-2t^2, e^t \), \(\displaystyle \gamma'(t)=(4t, -4t, e^t) \), \(\displaystyle \gamma''(t)=(4, -4, e^t) \), \(\displaystyle \gamma'''(t)=(0, 0, e^t) \)
allora ho calcolato:
\(\displaystyle |det(\gamma'(t)\gamma''(t)\gamma'''(t)| = \begin{vmatrix} 4t & 4 & 0 \\ -4t & -4 & 0 \\ e^t & e^t & e^t \end{vmatrix} = 16e^t \)
\(\displaystyle \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4t & -4t & e^t \\ 4 & -4 & e^t \end{vmatrix} = i(-4te^t +4e^t) -j(4te^t -4e^t) \)
\(\displaystyle \parallel \gamma'(t) \wedge \gamma''(t) \parallel^2 = 2e^{2t} (4t-4)^2\)
\(\displaystyle \tau(t) = - \tfrac{16e^t}{2e^{2t} (4t-4)^2} \)
e quindi mi rimane la dipendenza da t e non mi viene \(\displaystyle \tau=0 \). Dove sbaglio?
Vi ringrazio cmq molto per l'aiuto che mi state dando...
Calcoliamo il prodotto misto (nella formula della torsione) a numeratore:
$gamma'(t) = ( 4 t , - 4 t , e^t )$
$gamma''(t) = ( 4 , - 4 , e^t )$
$gamma'''(t) = ( 0 , 0 , e^t )$
$det (( 4 t , - 4 t , e^t ),( 4 , - 4 , e^t ),(0,0,e^t)) = e^t \cdot det ((4t , - 4t ),(4 , - 4 )) = e^t * (- 16 t + 16 t ) = 0$ , $\forall t$.
$gamma'(t) = ( 4 t , - 4 t , e^t )$
$gamma''(t) = ( 4 , - 4 , e^t )$
$gamma'''(t) = ( 0 , 0 , e^t )$
$det (( 4 t , - 4 t , e^t ),( 4 , - 4 , e^t ),(0,0,e^t)) = e^t \cdot det ((4t , - 4t ),(4 , - 4 )) = e^t * (- 16 t + 16 t ) = 0$ , $\forall t$.
è giusto, chiedo scusa.. avevo sbagliato a fare un conto..
ora mi è chiaro! Grazie ancora!
ora mi è chiaro! Grazie ancora!
Come vedi, i conti non sono molti; l'espressione della curva non era particolarmente oscena. 
No, è vero!!! 
Anzi, sono contenta di aver affrontato questo argomento perchè mi ha aiutato a rispolverare un po' di argomenti che, purtroppo, col tempo, avevo dimenticato...
Anzi, sono contenta di aver affrontato questo argomento perchè mi ha aiutato a rispolverare un po' di argomenti che, purtroppo, col tempo, avevo dimenticato...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo