Curva nello spazio

[vivianalabarba]

Data la curva z=x^2-2√2xy, devo riscriverla, utilizzando una trasformazione delle coordinate, senza l'utilizzo di termini misti nè quadrati. Infine devo determinare il tipo di curva....

Qualcuno mi aiuta...???? Oggi sono il ritratto della disperazione...

[gugo82]

"La_Vivianita":Data la curva $z=x^2-2sqrt(2)xy$, devo riscriverla, utilizzando una trasformazione delle coordinate, senza l'utilizzo di termini misti nè quadrati. Infine devo determinare il tipo di curva....

Qualcuno mi aiuta...???? Oggi sono il ritratto della disperazione...

A occhio e croce direi si tratti di una superficie, non di una curva.

Ad ogni modo, è una quadrica: la matrice completa associata è $A_c=((1,-sqrt2,0,0),(-sqrt2,0,0,0),(0,0,0,-1/2),(0,0,-1/2,0))$, mentre la matrice della forma quadratica è $A=((1,-sqrt2,0),(-sqrt2,0,0),(0,0,0))$; facendo un po' di conti si trova che $detA_c=1/2$ e che gli autovalori di $A$ sono $-1,0,2$: pertanto la tua superficie è un paraboloide iperbolico (detto anche paraboloide a sella).

Scrivere l'equazione senza né termini misti né quadrati non mi pare possibile a meno di non usare trasformazioni non lineari delle variabili $x,y,z$ (infatti la forma canonica di un paraboloide come questo è del tipo $X^2/a^2-Y^2/b^2=2Z$, se non ricordo male).
Se puoi prendere in considerazione trasformazioni non lineari, allora tutto diventa semplice: infatti aggiungendo e sottraendo al secondo membro la quantità $2y^2$ trovi $z=(x-sqrt(2)y)^2-2y^2$ ed applicando la trasformazione:

$\{(X=(x-sqrt(2)y)^2),(Y=y^2),(Z=z):}$

trovi $Z=X-2Y$. Comunque credo che non fosse questo lo scopo dell'esercizio...

[vivianalabarba]

In realtà è difficile anche a me capire esattamente la traccia dell'esercizio dato che la sto traducendo dal tedesco...
Domani mattina mi ci metto.... intanto grazie mille!!!

[gugo82]

"La_Vivianita":In realtà è difficile anche a me capire esattamente la traccia dell'esercizio dato che la sto traducendo dal tedesco...
Domani mattina mi ci metto.... intanto grazie mille!!!

LOOOL

Sei in Erasmus? Oppure ti diletti con libri tedeschi?

[vivianalabarba]

Entrambe direi.... Domani ti faccio sapere come è andata.... ;.)

[franced]

"Gugo82":
...
Se puoi prendere in considerazione trasformazioni non lineari, allora tutto diventa semplice: infatti aggiungendo e sottraendo al secondo membro la quantità $2y^2$ trovi $z=(x-sqrt(2)y)^2-2y^2$ ed applicando la trasformazione:

$\{(X=(x-sqrt(2)y)^2),(Y=y^2),(Z=z):}$

trovi $Z=X-2Y$
...

Forse è meglio considerare la trasformazione

$\{(X = x-sqrt(2)y),(Y=\sqrt(2)y),(Z=z):}$

così trovi:

$Z = X^2 - Y^2$

La superficie è un paraboloide iperbolico.

[gugo82]

"franced":[quote="Gugo82"]
...
Se puoi prendere in considerazione trasformazioni non lineari, allora tutto diventa semplice: infatti aggiungendo e sottraendo al secondo membro la quantità $2y^2$ trovi $z=(x-sqrt(2)y)^2-2y^2$ ed applicando la trasformazione:

$\{(X=(x-sqrt(2)y)^2),(Y=y^2),(Z=z):}$

trovi $Z=X-2Y$
...

Forse è meglio considerare la trasformazione

$\{(X = x-sqrt(2)y),(Y=\sqrt(2)y),(Z=z):}$

così trovi:

$Z = X^2 - Y^2$

La superficie è un paraboloide iperbolico.[/quote]
Si franced, che era un paraboloide iperbolico l'avevo detto subito... L'idea delle trasformazioni non lineari mi è venuta leggendo il testo dell'esercizio che chiedeva di applicare una trasformazione delle coordinate che consentisse di scrivere l'equazione della quadrica "senza l'utilizzo di termini misti né quadrati".

[franced]

"La_Vivianita":
z=x^2-2√2xy

Raccogli la $x$:

$z = x \cdot (x - 2 sqrt(2) y)$

Mediante la trasformazione

$X = x$

$Y = x - 2 sqrt(2) y$

$Z = z$

trovi l'equazione

$Z = X \cdot Y$

lo so che non si volevano i termini misti, ma credo che sia la soluzione migliore
per dimostrare che si tratta di un paraboloide iperbolico.

[gugo82]

"franced":[quote="La_Vivianita"]
z=x^2-2√2xy

Raccogli la $x$:

$z = x \cdot (x - 2 sqrt(2) y)$

Mediante la trasformazione

$\{ (X = x),(Y = x - 2 sqrt(2) y),(Z = z):}$

trovi l'equazione

$Z = X \cdot Y$

lo so che non si volevano i termini misti, ma credo che sia la soluzione migliore
per dimostrare che si tratta di un paraboloide iperbolico.[/quote]
E sì, è sicuramente il modo migliore...
Non so come, ma quella trasformazione proprio non l'avevo vista.

[franced]

"Gugo82":[quote="franced"][quote="La_Vivianita"]
z=x^2-2√2xy

Raccogli la $x$:

$z = x \cdot (x - 2 sqrt(2) y)$

Mediante la trasformazione

$\{ (X = x),(Y = x - 2 sqrt(2) y),(Z = z):}$

trovi l'equazione

$Z = X \cdot Y$

lo so che non si volevano i termini misti, ma credo che sia la soluzione migliore
per dimostrare che si tratta di un paraboloide iperbolico.[/quote]
E sì, è sicuramente il modo migliore...
Non so come, ma quella trasformazione proprio non l'avevo vista. [/quote]

Tranquillo, ho fatto peggio nell'altro post..

[franced]

Si può anche percorrere la strada della "forza bruta" con la rotazione:

$x = cos alpha X - sin alpha Y$

$y = sin alpha X + cos alpha Y$

sostituendo nell'equazione $z=x^2-sqrt(2)xy$ si deve annullare il coefficiente del termine misto.

[franced]

E' possibile anche fare questo ragionamento:

visto che $z=x^2-sqrt(2)xy = x \cdot (x-sqrt(2)y)$
le iperboli curve di livello con $z=k$ costante hanno per asintoti
le rette

$x=0$

e

$x-sqrt(2)y=0$

E' possibile sfruttare questo fatto per calcolare le direzioni principali di queste iperboli,
ragionando semplicemente sulle due bisettrici.