Curva irriducibile
Sia C una curva nel piano affine complesso di equazione affine (x^2 - y)^2 - y^3 = 0.
Sapendo che l'unico punto singolare è l'origine, trovarne la molteplicità, dimostrare che la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) e che C è razionale trovandone una sua parametrizzazione. Dimostrare l'irriducibilità di C.
Scusate per l'utilizzo inappropriato delle formule ma non ho ancora imparato ad inserirle.
A parte questo, come si procede in un esercizio del genere?
Premetto che i punti singolari riesco a trovarli facendo la derivata rispetto a x, y, considerando l'equazione della curva, faccio il sistema e trovo l'origine.
Ma la molteplicità? E il fatto che sia razionale e una sua eventuale parametrizzazione da dove lo deduco?
L'irriducibilità?
Spero in un vostro aiuto. Grazie!
Sapendo che l'unico punto singolare è l'origine, trovarne la molteplicità, dimostrare che la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) e che C è razionale trovandone una sua parametrizzazione. Dimostrare l'irriducibilità di C.
Scusate per l'utilizzo inappropriato delle formule ma non ho ancora imparato ad inserirle.
A parte questo, come si procede in un esercizio del genere?
Premetto che i punti singolari riesco a trovarli facendo la derivata rispetto a x, y, considerando l'equazione della curva, faccio il sistema e trovo l'origine.
Ma la molteplicità? E il fatto che sia razionale e una sua eventuale parametrizzazione da dove lo deduco?
L'irriducibilità?
Spero in un vostro aiuto. Grazie!
Risposte
Ciao, intanto la scriverei in $mathbb\{P}^2$ come $(x^2-yz)^2-y^3 z=0$. Come hai detto i punti singolari si ottengono ponendo le derivate (anche rispetto a z, per evitare di perdere eventuali punti impropri nella tua carta affine con x e y, cioè punti con z=0). Ora effettivamente l'unico punto singolare è $(0:0:1)=(0,0)=O$. In questo caso (per i punti fondamentali, cioè tutti zero e un solo 1 nella posizione i-esima) la molteplicità è data disomogeneizzando rispetto alla opportuna variabile relativa all'1 (in questo caso la z) e prendendo il termine omogeneo di grado minimo, in tal caso si ottiene che esso è $y^2=0$ (che sarà pure il cono tangente) e quindi si ha che la molteplicità è 2, perciò la somma è quella che dici tu (minore di 6) oppure osservando che la derivata parziale seconda fatta rispetto a y due volte è non nulla in O. L'irriducibilita non è difficile da vedere (basta osservare che a sinistra avresti un quadrato e a destra no), si fa come si studia l'ireiducibilita di un polinomio in algebra. Infine per la razionalità mi sembra strano, i criteri che conosco io non sono applicabili per questa quartica. Ci devo pensare
"rsrre1588":Come scrissi a una mia studentessa
[...] la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) [...]
[size=150]!allun otìpac oh noN[/size]Riguardo la razionalità: si nota che
\[
(x^2-y)^2-y^3=0\\
(x^2-y)^2=y^3
\]
quindi dev'essere \(\displaystyle y=u^{2n}\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq1}\). Fissato ciò:
\[
(x^2-u^{2n})^2=u^{6n}\\
x^2-u^{2n}=u^{3n}\\
x^2=u^{3n}-u^{2n}\\
x^2=u^{2n}(u^n-1)\\
x=u^n\sqrt{u^n-1};
\]
volendo eliminare la radice quadrata, si ponga \(\displaystyle u^n-1=t^2\), quindi:
\[
\begin{cases}
x=(t^2-1)t\\
y=(t^2-1)^2
\end{cases}.
\]
In particolare, la curva considerata è l'immagine della seguente funzione (continua rispetto alle topologie di Zariski del dominio e del codominio):
\[
\gamma:t\in\mathbb{A}^1\to\left(t(t^2-1),(t^2-1)^2\right)\in\mathbb{A}^2.
\]
"j18eos":Come scrissi a una mia studentessa
[quote="rsrre1588"][...] la sommatoria per i che va da 1 a s di (m con i) * (m con i - 1) = 2 < 6 = (d-1)(d-2) [...]
[size=150]!allun otìpac oh noN[/size]Riguardo la razionalità: supponi che \(\displaystyle xy\neq0\) e poni \(\displaystyle y=ux^2\), l'equazione diventa
\[
\begin{cases}
y=ux^2\\
(x^2-ux^2)^2-u^3x^6=0
\end{cases}
\]
per le ipotesi di sopra, la seconda equazione ottenuta diventa, mediante una divisione per \(\displaystyle x^4\)
\[
(1-u)^2-u^3x^2=0\\
x^2=\frac{(1-u)^2}{u^3}.
\]
si noti che dev'essere \(\displaystyle u\neq0\) per le ipotesi assunte.
Si ponga \(\displaystyle t=\frac{1}{u}\) e si ottiene che
\[
x^2=t^3\left(1-\frac{1}{t}\right)^2=t^2(t-1)^2\\
\begin{cases}
x=t(t-1)\\
y=t(t-1)^2
\end{cases}
\]
Sperando di non aver commesso qualche errore di calcolo...[/quote]
Interessante questo metodo, è simile a quello che si fa quando si ha un punto ($d-1$)-plo.
Comunque penso proprio che s sia il numero di punti singolari, $m_{i}$ la molteplicità di ognuno di essi e $d(=4)$ il grado della curva.
Ma come si fa a dimostrare l'irriducibilità di questa quartica?
Si osserva che il polinomio a sinistra (x^2-y)^2 ha grado 4 e potenza 2 mentre il polinomio a destra y^3 ha grado 3 e potenza 3 e questo sarebbe un cenno alla dimostrazione.
Ma sapreste dirmi i passaggi che portano alla conclusione dell'irriducibilità della curva C?
Non ne ho idea, sapreste aiutarmi?
Per l'aiuto che mi avete dato sulla rimanente parte dell'esercizio grazie mille.
Si osserva che il polinomio a sinistra (x^2-y)^2 ha grado 4 e potenza 2 mentre il polinomio a destra y^3 ha grado 3 e potenza 3 e questo sarebbe un cenno alla dimostrazione.
Ma sapreste dirmi i passaggi che portano alla conclusione dell'irriducibilità della curva C?
Non ne ho idea, sapreste aiutarmi?
Per l'aiuto che mi avete dato sulla rimanente parte dell'esercizio grazie mille.
Ho corretto il mio precedente post, 'ché c'era un errore di calcolo...
Buongiorno j18eos. Grazie mille per i tuoi interventi.
Ma come si dimostra l'irriducibilità di C? Perdonami se sono ripetitivo ma non ha ancora nessuno risposto.
Ma come si dimostra l'irriducibilità di C? Perdonami se sono ripetitivo ma non ha ancora nessuno risposto.
Utilizzando \(\displaystyle\gamma\): m'ero dimenticato di scriverlo! 
Sai cosa intendo?
Sai cosa intendo?
Ho capito che devo considerare la trasformazione affine, ma in che modo?
E poi mi chiedevo questa curva quanti punti doppi ordinari ha? E quanti punti doppi cuspidali di prima specie ha?
Lo dicevo per C per calcolarne il suo genere perché una condizione di razionalità dice che una curva è razionale se e solo se il suo genere è 0.
Lo dicevo per C per calcolarne il suo genere perché una condizione di razionalità dice che una curva è razionale se e solo se il suo genere è 0.
Essendo \(\displaystyle C\) un'immagine continua di \(\displaystyle\mathbb{A}^1\), ottieni l'irriducibilità: perché?
Omogeneizzando il tutto, ottieni la razionalità.
Omogeneizzando il tutto, ottieni la razionalità.
Non so cosa sia un punto cuspidale, però stando alle definizioni che conosco io l'origine non è
un punto doppio ordinario, in quanto il cono tangente (affine) è $V(y^2)$ che si spezza in due rette coincidenti, pertanto non è ordinario (immagino sia cuspidale, in analogia alle cubiche).
un punto doppio ordinario, in quanto il cono tangente (affine) è $V(y^2)$ che si spezza in due rette coincidenti, pertanto non è ordinario (immagino sia cuspidale, in analogia alle cubiche).
Ma quanto vale n, h , k nella formula
((n-1)*(n-2))/2 - h - k
dove:
h è il numero dei punti doppi ordinari
k è il numero dei punti doppi cuspidali di prima specie
n è il grado della curva.
essendo una quartica il grado della curva è n = 4 ma quanto vale h, k?
Scusate ancora la mia insistenza ma non ho ancora capito il concetto del tutto.
((n-1)*(n-2))/2 - h - k
dove:
h è il numero dei punti doppi ordinari
k è il numero dei punti doppi cuspidali di prima specie
n è il grado della curva.
essendo una quartica il grado della curva è n = 4 ma quanto vale h, k?
Scusate ancora la mia insistenza ma non ho ancora capito il concetto del tutto.
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