Curiosità sui vettori.
E' più matematica che fisica, per cui la posto qui.
Dunque, si tratta solo di confermare una cosa per vedere se ho capito. Io ho le componenti del vettore accelerazione radiale (moto circolare uniforme), $a_x$ e $a_y$, espresse in funzione del tempo. Perchè devo fare $tg \Theta = sin (\omega t + \Theta_0)/cos (\omega t + \Theta_0)$? Perchè questo è l'unico modo che ho di legare l'angolo (sia pure come argomento di una funzione) che il vettore risultante forma con l'asse x alle misure dei segmenti proiezione del vettore lungo l'asse?
Se faccio la stessa cosa per la velocità, le cui componenti sono lungo gli assi, mi viene:
$ tg \Theta = (-Rsen(\omega t + \Theta_0))/ (R cos (\omega t +\Theta_0)) = -tg (\omega t +\Theta_0) = - tg \Theta$.
Non è contraddittorio che venga la tangente di un angolo uguale al suo opposto? Come si legge questo risultato sapendo che poi la velocità lineare è tangente alla circonferenza? Perchè se le componenti delle velocità sono legate anch'esse all'angolo nell'istante di tempo, non si può decidere la direzione del vettore risultante velocità con questo metodo?
Dunque, si tratta solo di confermare una cosa per vedere se ho capito. Io ho le componenti del vettore accelerazione radiale (moto circolare uniforme), $a_x$ e $a_y$, espresse in funzione del tempo. Perchè devo fare $tg \Theta = sin (\omega t + \Theta_0)/cos (\omega t + \Theta_0)$? Perchè questo è l'unico modo che ho di legare l'angolo (sia pure come argomento di una funzione) che il vettore risultante forma con l'asse x alle misure dei segmenti proiezione del vettore lungo l'asse?
Se faccio la stessa cosa per la velocità, le cui componenti sono lungo gli assi, mi viene:
$ tg \Theta = (-Rsen(\omega t + \Theta_0))/ (R cos (\omega t +\Theta_0)) = -tg (\omega t +\Theta_0) = - tg \Theta$.
Non è contraddittorio che venga la tangente di un angolo uguale al suo opposto? Come si legge questo risultato sapendo che poi la velocità lineare è tangente alla circonferenza? Perchè se le componenti delle velocità sono legate anch'esse all'angolo nell'istante di tempo, non si può decidere la direzione del vettore risultante velocità con questo metodo?
Risposte
L'accelerazione radiale è sfasata di 90° rispetto alla velocità. Metti che la posizione sia ad un angolo di $Theta=30°$ e $Theta_0=0°$:
$tan30=(omega^2 R sin30)/(omega^2 R cos30)=(sin30)/(cos30)$
Se fai per la velocità:
$tan(30+90)=tan135=(omegaR sin135)/(omegaR cos135)=(sin135)/(cos135)$
La velocità non ha lo stesso angolo dell'accelerazione centripeta rispetto all'asse $x$. Il tuo risultato è dovuto al fatto che nell'eqauzione fatta con le velocità prendi le componenti della velocità stesso col segno rispetto all'asse $x$ positivo, ma utilizzi le funzioni trigonometriche applicando l'angolo rispetto all'asse $y$.
$tan30=(omega^2 R sin30)/(omega^2 R cos30)=(sin30)/(cos30)$
Se fai per la velocità:
$tan(30+90)=tan135=(omegaR sin135)/(omegaR cos135)=(sin135)/(cos135)$
La velocità non ha lo stesso angolo dell'accelerazione centripeta rispetto all'asse $x$. Il tuo risultato è dovuto al fatto che nell'eqauzione fatta con le velocità prendi le componenti della velocità stesso col segno rispetto all'asse $x$ positivo, ma utilizzi le funzioni trigonometriche applicando l'angolo rispetto all'asse $y$.
Penso di avere molto banalmente dimenticato il fatto che $v_x= - R sin (ωt+Θ_0)$ vuol dire che $v_x$ sia una componente "opposta" a quella di $\vec r$ lungo x.
Se sì, allora resta valido il "criterio della tangente" per calcolare la direzione di un vettore.
Se sì, allora resta valido il "criterio della tangente" per calcolare la direzione di un vettore.
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