Curiosità su disuguaglianza cauchy-schwarz
Ciao a tutti, una curiosità: applicando la disuguaglianza di cauchy-schwarz (*) a un caso particolare si ricava una disuguaglianza, per esempio (salvo calcoli errati, ma non importa):
$ |( 1+x \ \ 1 )( ( 1 ),( x^2 ) )|^2<=((1+x)^2+1)(1+x^4) $
[...]
$x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1>=0$.
Viceversa, se la domanda fosse: "è vero che $x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1 >=0$?", sarebbe possibile risalire "in retromarcia", con qualche algoritmo, alla diseguaglia di cauchy-schwarz per rispondere? Cioè, questa diseguaglianza può essere usata per studiare il segno di alcune funzioni scritte in modo particolare?
(*) $|v^tw|<= ||v||_2 ||w_2||$, dove $||... ||_2$ è la norma euclidea $sqrt(v^tv)$
$ |( 1+x \ \ 1 )( ( 1 ),( x^2 ) )|^2<=((1+x)^2+1)(1+x^4) $
[...]
$x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1>=0$.
Viceversa, se la domanda fosse: "è vero che $x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1 >=0$?", sarebbe possibile risalire "in retromarcia", con qualche algoritmo, alla diseguaglia di cauchy-schwarz per rispondere? Cioè, questa diseguaglianza può essere usata per studiare il segno di alcune funzioni scritte in modo particolare?
(*) $|v^tw|<= ||v||_2 ||w_2||$, dove $||... ||_2$ è la norma euclidea $sqrt(v^tv)$
Risposte
No, non ha senso la domanda perché, ammesso di poter risalire alla diseguaglianza di cauchy, troverei una relazione vera per qualsiasi valore del parametro, invece che rispondere alla domanda "per quali valori del parametro/incognita è vera l'uguaglianza?".
Buh? L'unica cosa che si può dire (anzi, che mi viene in mente) è che un trucco tipico per dimostrare queste disuguaglianze è la formula quadratica: se $ax^2+bx+c\ge 0$ e $a>0$, allora necessariamente $b^2-4ac\ge 0$. Con un po' di accorgimenti, questa è la dimostrazione di Cauchy-Schwarz.
Non so se ho detto qualcosa di sensato relativamente alla tua domanda
Non so se ho detto qualcosa di sensato relativamente alla tua domanda
Ciao Dissonance, sì, mi hai risposto 
. La dimostrazione che avevo visto è un po' più generale perché riferita al prodotto interno, ma in effetti se applicata alla norma euclidea diventa un semplice fatto algebrico.
Quindi, non ha senso chiamare in causa la diseguaglianza di cauchy-schwarz per verificare una certa disequazione $f(x)>0$,ma basta ricondurla a quella relazione algebrica (quando si può fare). E, al contrario, è la diseguaglianza di cauchy-schwarz a essere vera per quel fatto algebrico. Tutto chiaro, adesso!
. La dimostrazione che avevo visto è un po' più generale perché riferita al prodotto interno, ma in effetti se applicata alla norma euclidea diventa un semplice fatto algebrico.Quindi, non ha senso chiamare in causa la diseguaglianza di cauchy-schwarz per verificare una certa disequazione $f(x)>0$,ma basta ricondurla a quella relazione algebrica (quando si può fare). E, al contrario, è la diseguaglianza di cauchy-schwarz a essere vera per quel fatto algebrico. Tutto chiaro, adesso!
Così per passatempo, prova a dare un'occhiata a questo libro. Secondo me a te può interessare.
http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... index.html
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Ho scaricato con la app kindle le prime 20 pagine di questo libro: mi pare molto bello, mi piace l'approccio. Mi piace quando le cose sono presentate attraverso grattacapi da risolvere. Non penso sia sempre didatticamente possibile, ma quando lo è, è stimolante.
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