Curiosità geometrico-algebrica: matrici simili e coniugio
Rieccomi 
Vorrei sottoporvi una mia impressione, non so quanto fondata, per sapere le vostri opinioni in proposito. Magari è un'osservazione scema, o forse solo una coincidenza (rare, in Matematica).
La situation è questa. Prendiamo uno spazio vettoriale finitamente generato, $mathcal V$ di dimensione $n$. Fissata una base $B$ in $mathcalV$, consideriamo un endomorfismo $f:mathcal V->mathcal V$.
Chiamo $A$ la matrice quadrata di ordine $n$ associata a $f$ mediante la base $B$ di $mathcal V$ (per inciso: prendo la stessa base $B$ sia per il dominio che per il codominio): in simboli, $A = mathcal M ^(B,B) (f) in RR^(n,n)$.
Adesso cambio base in $mathcal V$: passo dalla base $B$ alla base $B'$. La matrice del cambiamento di base la chiamo $P$: si sa che $P$ ha determinante non nullo (per ovvie ragioni) e quindi è invertibile.
Mi chiedo adesso quale sia la matrice associata all'endomorfismo $f$ mediante la nuova base $B'$ (di nuovo, non vado a complicarmi la vita: cambio base nel dominio e anche nel codominio): la chiamo $A'=mathcal M ^(B',B') (f) in RR^(n,n)$.
Facendo due conticini si trova che $A'=P^-1AP$.
Due matrici associate allo stesso endomorfismo (cioè due matrici quadrate $A, A'$ tali che esiste un'altra matrice $P$ - invertibile - per cui $A'=P^-1AP$) si chiamano simili.
Ok, fin qui dovremmo esserci. Si dimostra poi che matrici simili hanno stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stesso determinante.
La domanda è: è fin troppo evidente la somiglianza della scrittura $A'=P^-1AP$ con quella dell'operazione di coniugio che ero abituato a vedere in algebra (teoria dei gruppi). La cosa mi sorprende positivamente: c'è qualcosa di interessante qua sotto?
Credo che dietro tutto ci sia una relazione di equivalenza, ma è tutto qui o c'è altro? C'è qualche legame con i gruppi di matrici?
Un ringraziamento a chi vorrà intervenire (e a chi ha letto fin qui
)
Vorrei sottoporvi una mia impressione, non so quanto fondata, per sapere le vostri opinioni in proposito. Magari è un'osservazione scema, o forse solo una coincidenza (rare, in Matematica).
La situation è questa. Prendiamo uno spazio vettoriale finitamente generato, $mathcal V$ di dimensione $n$. Fissata una base $B$ in $mathcalV$, consideriamo un endomorfismo $f:mathcal V->mathcal V$.
Chiamo $A$ la matrice quadrata di ordine $n$ associata a $f$ mediante la base $B$ di $mathcal V$ (per inciso: prendo la stessa base $B$ sia per il dominio che per il codominio): in simboli, $A = mathcal M ^(B,B) (f) in RR^(n,n)$.
Adesso cambio base in $mathcal V$: passo dalla base $B$ alla base $B'$. La matrice del cambiamento di base la chiamo $P$: si sa che $P$ ha determinante non nullo (per ovvie ragioni) e quindi è invertibile.
Mi chiedo adesso quale sia la matrice associata all'endomorfismo $f$ mediante la nuova base $B'$ (di nuovo, non vado a complicarmi la vita: cambio base nel dominio e anche nel codominio): la chiamo $A'=mathcal M ^(B',B') (f) in RR^(n,n)$.
Facendo due conticini si trova che $A'=P^-1AP$.
Due matrici associate allo stesso endomorfismo (cioè due matrici quadrate $A, A'$ tali che esiste un'altra matrice $P$ - invertibile - per cui $A'=P^-1AP$) si chiamano simili.
Ok, fin qui dovremmo esserci. Si dimostra poi che matrici simili hanno stessa traccia, stesso rango, stesso polinomio caratteristico e stesso determinante.
La domanda è: è fin troppo evidente la somiglianza della scrittura $A'=P^-1AP$ con quella dell'operazione di coniugio che ero abituato a vedere in algebra (teoria dei gruppi). La cosa mi sorprende positivamente: c'è qualcosa di interessante qua sotto?
Credo che dietro tutto ci sia una relazione di equivalenza, ma è tutto qui o c'è altro? C'è qualche legame con i gruppi di matrici?
Un ringraziamento a chi vorrà intervenire (e a chi ha letto fin qui
)
Risposte
Naturalmente non si tratta di una vera e propria relazione di coniugio, in quanto come sai l'insieme delle matrici $A$ ottenute come matrici associate ad endomorfismi non è un gruppo (rispetto all'operazione di prodotto righe per colonne), in quanto non tutte le matrici sono invertibili.
Però è facile dimostrare che si tratta comunque di una relazione di equivalenza.
E qual è la prima cosa che si fa quando hai una relazione di equivalenza? Si cerca un sistema completo di rappresentanti per tale relazione.
Per esempio, quando studi la congruenza mod $n$, dici che un sistema completo di rappresentanti per la relazione di congruenza è ${0,1,2,...,n-1}$, perchè ogni intero $m$ è congruente ad uno dei precedenti.
E allora ci si chiede:
Esiste un insieme [tex]\mathcal{M}[/tex] di matrici (quadrate di ordine $n$) tale che, presa una qualsiasi matrice $A$ quadrata di ordine $n$, $A$ è simile ad una matrice di [tex]\mathcal{M}[/tex]?
I problemi di questo tipo si chiamano problemi di classificazione. Sono molto frequenti in geometria e algebra.
Beh, comunque, tornando al tuo problema iniziale, la tua curiosità sarà saziata, in quanto si tratta di un problema risolto.
La risposta alla domanda precedente è affermativa e si chiama forma canonica di Jordan.
[Edit] Ho sistemato la svista segnalata da Steven (che ringrazio).
Però è facile dimostrare che si tratta comunque di una relazione di equivalenza.
E qual è la prima cosa che si fa quando hai una relazione di equivalenza? Si cerca un sistema completo di rappresentanti per tale relazione.
Per esempio, quando studi la congruenza mod $n$, dici che un sistema completo di rappresentanti per la relazione di congruenza è ${0,1,2,...,n-1}$, perchè ogni intero $m$ è congruente ad uno dei precedenti.
E allora ci si chiede:
Esiste un insieme [tex]\mathcal{M}[/tex] di matrici (quadrate di ordine $n$) tale che, presa una qualsiasi matrice $A$ quadrata di ordine $n$, $A$ è simile ad una matrice di [tex]\mathcal{M}[/tex]?
I problemi di questo tipo si chiamano problemi di classificazione. Sono molto frequenti in geometria e algebra.
Beh, comunque, tornando al tuo problema iniziale, la tua curiosità sarà saziata, in quanto si tratta di un problema risolto.
La risposta alla domanda precedente è affermativa e si chiama forma canonica di Jordan.
[Edit] Ho sistemato la svista segnalata da Steven (che ringrazio).
Parzialmente OT:
Se la congruenza è mod n, l'insieme di rappresentanti penso possa fermarsi a $n-1$,
"cirasa":
Per esempio, quando studi la congruenza mod $n$, dici che un sistema completo di rappresentanti per la relazione di congruenza è ${0,1,2,...,n}$, perchè ogni intero $m$ è congruente ad uno dei precedenti.
Se la congruenza è mod n, l'insieme di rappresentanti penso possa fermarsi a $n-1$,
"cirasa":
Beh, comunque, tornando al tuo problema iniziale, la tua curiosità sarà saziata, in quanto si tratta di un problema risolto.
La risposta alla domanda precedente è affermativa e si chiama forma canonica di Jordan.
La forma canonica di Jordan risolve il problema nel caso che il campo sia algebricamente chiuso; in realtà le forme canoniche di Jordan, a meno di permutare i blocchi, sono un sistema completo di rappresentanti per le matrici triangolarizzabili.
Gli endomorfismi non triangolarizzabili non ammettono forma di Jordan!!
Una risposta parziale al tuo livello è questa.
Vorresti un rappresentante per ognuna delle tue classi di matrici simili. Per esempio ne vorresti uno particolarmente "buono", semplice da maneggiare.. ad esempio: una matrice diagonale!
Quindi, quando tu ti chiedi se una matrice è diagonalizzabile, ti stai chiedendo: la classe di equivalenza (equivalenza per similitudine) che ha quella matrice come rappresentante contiene anche una matrice diagonale?
Purtroppo (come dovresti sapere) la risposta non sempre è positiva. Per alcune classi c'è, per altre no.
Una divagazione. A questo punto tu dici: ok, diagonale non la trovo.
Ma magari riesco a trovarla, chessò.. triangolare!
E qui ci sono vari risultati in merito.. Il più noto è la già citata forma canonica di Jordan:
in un campo algebricamente chiuso (tipicamente in $CC$) ogni classe di equivalenza ammette un rappresentante in forma di Jordan (che è una matrice triangolare superiore con una forma molto comoda).
Vorresti un rappresentante per ognuna delle tue classi di matrici simili. Per esempio ne vorresti uno particolarmente "buono", semplice da maneggiare.. ad esempio: una matrice diagonale!
Quindi, quando tu ti chiedi se una matrice è diagonalizzabile, ti stai chiedendo: la classe di equivalenza (equivalenza per similitudine) che ha quella matrice come rappresentante contiene anche una matrice diagonale?
Purtroppo (come dovresti sapere) la risposta non sempre è positiva. Per alcune classi c'è, per altre no.
Una divagazione. A questo punto tu dici: ok, diagonale non la trovo.
Ma magari riesco a trovarla, chessò.. triangolare!
E qui ci sono vari risultati in merito.. Il più noto è la già citata forma canonica di Jordan:
in un campo algebricamente chiuso (tipicamente in $CC$) ogni classe di equivalenza ammette un rappresentante in forma di Jordan (che è una matrice triangolare superiore con una forma molto comoda).
Grazie a NightKnight per la precisazione. In effetti avevo dimenticato di aggiungere l'ipotesi che il campo dovesse essere algebricamente chiuso.
Ora, non vorrei dire una fesseria, ma se si indeboliscono le ipotesi, si possono considerare gli $R$-moduli $M$ (gli assiomi nella definizione di $R$-modulo sono formalmente gli stessi di quelli di spazio vettoriale, ma $R$ è un anello commutativo unitario e non necessariamente un campo).
E, se non ricordo male, si può dare anche una forma canonica per gli endomorfismi di $R$-modulo o qualcosa di simile.
Mi scuso se non sono stato molto preciso (forse si dovrebbe aggiungere qualche ipotesi in più da qualche parte) ma non sono cose che uso tutti i giorni.
Ora, non vorrei dire una fesseria, ma se si indeboliscono le ipotesi, si possono considerare gli $R$-moduli $M$ (gli assiomi nella definizione di $R$-modulo sono formalmente gli stessi di quelli di spazio vettoriale, ma $R$ è un anello commutativo unitario e non necessariamente un campo).
E, se non ricordo male, si può dare anche una forma canonica per gli endomorfismi di $R$-modulo o qualcosa di simile.
Mi scuso se non sono stato molto preciso (forse si dovrebbe aggiungere qualche ipotesi in più da qualche parte) ma non sono cose che uso tutti i giorni.
"cirasa":
Grazie a NightKnight per la precisazione. In effetti avevo dimenticato di aggiungere l'ipotesi che il campo dovesse essere algebricamente chiuso.
Ora, non vorrei dire una fesseria, ma se si indeboliscono le ipotesi, si possono considerare gli $R$-moduli $M$ (gli assiomi nella definizione di $R$-modulo sono formalmente gli stessi di quelli di spazio vettoriale, ma $R$ è un anello commutativo unitario e non necessariamente un campo).
E, se non ricordo male, si può dare anche una forma canonica per gli endomorfismi di $R$-modulo o qualcosa di simile.
Mi scuso se non sono stato molto preciso (forse si dovrebbe aggiungere qualche ipotesi in più da qualche parte) ma non sono cose che uso tutti i giorni.
La filosofia è: "quasi niente di ciò che è vero per gli spazi vettoriali è vero per i moduli".
Già se l'anello è particolarmente buono, ad esempio è un PID, allora un modulo finitamente generato ha una parte di torsione.
Se l'anello è disastroso, ad esempio non è nemmeno noetheriano, può darsi che un modulo finitamente generato abbia un sottomodulo finitamente generato; quindi è proprio una catastrofe.
Sinceramente, non ho mai studiato una forma canonica per gli endomorfismi di un modulo... Però può darsi che si riesca a dire qualcosa sotto ipotesi buone, ad esempio che l'anello sia un PID e il modulo sia libero.
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