Criterio di Sylvester

[antofilo-votailprof]

Salve a tutti. Avrei bisogno di un aiuto circa il Criterio (non il teorema) di Sylvester.
Def. Sia M $in$ $S_n$($RR$). Essa è definita positiva se e solo se $AA$ k = 1...n, il minore principale di ordine k di A è positivo.

Cos'è il minore principale l'ho capito e saprei controllare se una matrice è definita positiva. La mia prima domanda è: questo criterio mi da qualcosa in più che non sto riuscendo a vedere?
In più, dopo, avrei bisogno di una delucidazione circa la dimostrazione, che proverò a breve a scrivere.

[antofilo-votailprof]

Dimostrazione.
Si consideri la forma quadratica su $R^n$, definita positiva, $Q(Y) =$ $Y^t$$AY$, individuata dalla matrice simmetrica reale A rispetto ad una fissata base B di $R^n$.

Per $K = 1, ... , n$, si consideri la forma quadratica su $R^k$, definita da $Q_k$ $(X) = $ $X^t$ $A_k$ $X$.
Per ogni $\ vec x'$ $ = ($ $x_1$ $, ... ,$ $x_k$ $)$, vettorei di $R^k$, si consideri il vettore di $R^n$ definito da
$\ vec x$ $ = ($ $x_1$ $, ... ,$ $x_k$ $, 0, ..., 0)$. Vale che
$Q_k$ $($ $\vec x'$ $) = $ $X'^t$ $AX'$ = $X^t$ $AX$ = $Q_k$ $($ $\vec x$ $)$
E' da notare che l'uguale non significa l'uguaglianza tra le forme quadratiche (infatti il dominio è diverso), bensì che hanno lo stesso comportamento. Ciò significa che $Q_k$ è definita positiva in quanto per ipotesi abbiamo che $Q$ è definita positiva.
Pertanto la matrice $A_k$ è definita positiva e si ha che esiste $M_k$ $in$ $GL(n, R)$ tale che $A_k$ $ = $ $M_k^t$ $M_k$ .
Quindi $det$ $A_k$ $> 0$ per ogni $K = 1, ... , n$.

[poi va per induzione...]

NB. io già qui non seguo bene la dimostrazione. Non mi sono chiari i passaggi, soprattutto la prima parte.
Potreste aiutarmi a capirli genitlmente?

[antofilo-votailprof]

Qualcuno sa dirmi se fin qui la dimostrazione sta bene?