Covarianza e controvarianza di vettori
raga buona sera, mi sono iscritto appena adesso, perché sto impazzendo e penso voi possiate aiutarmi.
ahime, nessuno mai mi ha insegnato cosa voglia dire covarianza e controvarianza di vettori. Mi sono procurato per caso (trovato su questo sito credo) un documento molto chiaro di elio fabri, il quale spiegava cosa vogliano dire queste due parole con chiarezza. chiare per tutti tranne che per me.
ho provato a "vedere" covarianza e controvarianza di vettori sul piano così:
1) prendo la base canonica [tex]e_1=(1,0),\ e_2=(0,1)[/tex] e definisco due vettori: un vettore [tex]v=e_1+e_2[/tex] e un'applicazione [tex]\sigma=\frac12e_1[/tex]. Si vede che [tex]<\sigma,v>=\frac12[/tex].
2) cambio base. Passo alla base [tex]f_1=(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2),\ f_2=(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)[/tex].
Il collegamento tra le due basi è dato dalle: [tex]f_i=A_i^{\ k}e_k[/tex], da cui:
[tex]A_1^{\ 1}=\frac{\sqrt2}2,\ A_1^{\ 2}=\frac{\sqrt2}2,\ A_2^{\ 1}=-\frac{\sqrt2}2,\ A_2^{\ 2}=\frac{\sqrt2}2[/tex]
sin qui tutto bene. è come se io fissassi un piano cartesiano con sopra [tex]e_1,\ e_2,\ v[/tex], e girassi la testa verso sinistra, ridisegnando due assi cartesiani cartesiani dritti rispetto alla mia testa. In sostanza la base ruota in senso antiorario di 45 gradi. scoperto l'acqua bollita.
3) Nella nuova base, [tex]v=w_if_i[/tex], con [tex]w_i=A_k^{\ i}v_k[/tex], quindi [tex]v=\sqrt2f_1[/tex], quindi [tex]v[/tex] gira in senso orario di 45 gradi, perché è controvariante. tutto bene, un vettore fisico rimane li dov'è. mi va benissimo.
4) cambio base a [tex]\sigma[/tex], e quindi [tex]\sigma=\tau_i\chi_i[/tex] dove [tex]\chi_i[/tex] è il duale di [tex]f_i[/tex]; le cose vanno bene se [tex]\sigma_i=A_i^{\ k}\tau_k[/tex] e quindi vedo che le componenti di [tex]\sigma[/tex] si trasformano come le basi. apposto, covarianza. faccio i conti. mi viene: [tex]\tau_1=\frac{\sqrt2}4,\ \tau_2=-\frac{\sqrt2}4[/tex]. Controlliamo che, nella nuova base, [tex]<\sigma,v>=\frac12[/tex]. A me torna, quindi mi sembra che ho fatto bene i conti.
DRAMMA: vado a disegnare sul piano [tex](f_1,f_2)[/tex] [tex]v[/tex] e [tex]\sigma[/tex]. E' come se ENTRAMBI fossero stati ruotati di 45 gradi in senso orario. Ma allora, se entrambi ruotano nello stesso verso ma con due trasformazioni diverse, ovvero [tex]w_i=A_k^{\ i}v_k[/tex] e [tex]\sigma_i=A_i^{\ k}\tau_k[/tex], in cosa consiste GEOMETRICAMENTE la covarianza e la controvarianza di vettori? uno controvaria, uno covaria, ma vanno nella stessa direzione, il che per le proprietà del prodotto scalare, mi sembra ovvio, ma quindi covarianza e controvarianza per cosa stanno?
per completezza, riporto il documento del sig. Fabri:http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf
un grazie mille a chiunque si prende la briga di vedere dove ho scritto fandonie[/url]
ahime, nessuno mai mi ha insegnato cosa voglia dire covarianza e controvarianza di vettori. Mi sono procurato per caso (trovato su questo sito credo) un documento molto chiaro di elio fabri, il quale spiegava cosa vogliano dire queste due parole con chiarezza. chiare per tutti tranne che per me.
ho provato a "vedere" covarianza e controvarianza di vettori sul piano così:
1) prendo la base canonica [tex]e_1=(1,0),\ e_2=(0,1)[/tex] e definisco due vettori: un vettore [tex]v=e_1+e_2[/tex] e un'applicazione [tex]\sigma=\frac12e_1[/tex]. Si vede che [tex]<\sigma,v>=\frac12[/tex].
2) cambio base. Passo alla base [tex]f_1=(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2),\ f_2=(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2)[/tex].
Il collegamento tra le due basi è dato dalle: [tex]f_i=A_i^{\ k}e_k[/tex], da cui:
[tex]A_1^{\ 1}=\frac{\sqrt2}2,\ A_1^{\ 2}=\frac{\sqrt2}2,\ A_2^{\ 1}=-\frac{\sqrt2}2,\ A_2^{\ 2}=\frac{\sqrt2}2[/tex]
sin qui tutto bene. è come se io fissassi un piano cartesiano con sopra [tex]e_1,\ e_2,\ v[/tex], e girassi la testa verso sinistra, ridisegnando due assi cartesiani cartesiani dritti rispetto alla mia testa. In sostanza la base ruota in senso antiorario di 45 gradi. scoperto l'acqua bollita.
3) Nella nuova base, [tex]v=w_if_i[/tex], con [tex]w_i=A_k^{\ i}v_k[/tex], quindi [tex]v=\sqrt2f_1[/tex], quindi [tex]v[/tex] gira in senso orario di 45 gradi, perché è controvariante. tutto bene, un vettore fisico rimane li dov'è. mi va benissimo.
4) cambio base a [tex]\sigma[/tex], e quindi [tex]\sigma=\tau_i\chi_i[/tex] dove [tex]\chi_i[/tex] è il duale di [tex]f_i[/tex]; le cose vanno bene se [tex]\sigma_i=A_i^{\ k}\tau_k[/tex] e quindi vedo che le componenti di [tex]\sigma[/tex] si trasformano come le basi. apposto, covarianza. faccio i conti. mi viene: [tex]\tau_1=\frac{\sqrt2}4,\ \tau_2=-\frac{\sqrt2}4[/tex]. Controlliamo che, nella nuova base, [tex]<\sigma,v>=\frac12[/tex]. A me torna, quindi mi sembra che ho fatto bene i conti.
DRAMMA: vado a disegnare sul piano [tex](f_1,f_2)[/tex] [tex]v[/tex] e [tex]\sigma[/tex]. E' come se ENTRAMBI fossero stati ruotati di 45 gradi in senso orario. Ma allora, se entrambi ruotano nello stesso verso ma con due trasformazioni diverse, ovvero [tex]w_i=A_k^{\ i}v_k[/tex] e [tex]\sigma_i=A_i^{\ k}\tau_k[/tex], in cosa consiste GEOMETRICAMENTE la covarianza e la controvarianza di vettori? uno controvaria, uno covaria, ma vanno nella stessa direzione, il che per le proprietà del prodotto scalare, mi sembra ovvio, ma quindi covarianza e controvarianza per cosa stanno?
per completezza, riporto il documento del sig. Fabri:http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf
un grazie mille a chiunque si prende la briga di vedere dove ho scritto fandonie[/url]
Risposte
È a mio parere comodo fare uso della notazione matriciale al posto di quella di Einstein. Viene usata molto meno spesso, ma è secondo me in questo caso superiore come chiarezza. In questa notazione le basi dello spazio vettoriale che si sta considerando si rappresentano come una matrice riga e le componenti dei vettori controvarianti si rappresentano come matrici colonna. Per quelli covarianti si fa tutto al contrario, la matrice della base è una matrice colonna e quella dei componenti e una matrice riga. Sia quindi [tex]\{ \boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2} \}[/tex] la base canonica del piano e [tex]\{ \boldsymbol{\omega^1}, \boldsymbol{\omega^2} \}[/tex] la sua base duale. Il vettore controvariante [tex]\boldsymbol v = v^i \, \boldsymbol{e_i}[/tex] si rappresenta allora con [tex]\boldsymbol v = \boldsymbol{e} \, v[/tex] dove abbiamo definito le matrici [tex]\boldsymbol{e} = [\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}][/tex] e [tex]v = [v^1, v^2]^T[/tex]. Il vettore covariante [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma_i \, \boldsymbol{\omega^i}[/tex] si rappresenterà come [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma \, \boldsymbol{\omega}[/tex] dove [tex]\boldsymbol{\omega} = [\boldsymbol{\omega^1}, \boldsymbol{\omega^2}]^T[/tex] e [tex]\sigma = [\sigma_1, \sigma_2][/tex]. Infine, [tex]\left< \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{v} \right> = \sigma \, (\boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{e}) \, v[/tex] e se le basi sono duali allora [tex](\boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{e})[/tex] è la matrice identità e quindi [tex]\left< \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{v} \right> = \sigma \, v[/tex].
Supponiamo a questo punto di voler passare da [tex]\boldsymbol{e}[/tex] ad un'altra base rappresentata da [tex]\boldsymbol{f}[/tex]. La trasformazione lineare sarà allora rappresentata dall'equazione [tex]\boldsymbol{f} = \boldsymbol{e} \, A[/tex] (nota che A sta a destra perché [tex]\boldsymbol{e}[/tex] è una matrice riga...). Avremo allora che [tex]\boldsymbol{v} = \boldsymbol{f} \, w = \boldsymbol{e} \, A \, w[/tex]. Ecco allora che le componenti vengono moltiplicate a sinistra per la matrice [tex]A[/tex] diversamente dalle basi e si passerà dalla base nuova a quella vecchia. Per passare da quella vecchia a quella nuova dovremo invertire la matrice ottenendo: [tex]w = A^{-1} \, v[/tex]. Se ora consideriamo [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma , \boldsymbol{\omega} = \tau \, \boldsymbol{\chi}[/tex], avremo che [tex]\tau = \left< \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{f} \right> = \sigma \, (\boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{f}) = \sigma \, \boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{e} \, A = \sigma \, A[/tex]. Ecco allora che le componenti del vettore covariante si trasformano come le basi dello spazio. Le basi dello spazio duale si trasformeranno invece come le componenti dei vettori cotrovarianti: [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma \, \boldsymbol{\omega} = \tau \, \boldsymbol{\chi} = \sigma \, A \, \boldsymbol{\chi}[/tex] da cui [tex]\boldsymbol{\omega} = A \, \boldsymbol{\chi}[/tex] e quindi [tex]\boldsymbol{\chi} = A^{-1} \, \boldsymbol{\omega}[/tex]. Dovrebbe essere allora chiaro che, siccome le matrici di trasformazione da vecchio a nuovo sono [tex]A[/tex] e [tex]A^{-1}[/tex], vettori controvarianti e covarianti vengono trasformati nello stesso modo se la matrice [tex]A[/tex] è ortogonale, ma in generale la trasformazione è diversa. Un modo per vedere bene la trasformazione è quella di interpretare i vettori covarianti come gli iperpiani dello spazio (piani nel caso di [tex]\mathbb R^3[/tex] e rette nel caso di [tex]\mathbb R^2[/tex] dove le componenti del vettore sono le componenti del vettore normale). Applicando una certa trasformazione ai punti del piano si dovrà trasformare la normale con l'inversa della trasposta per ottenere la nuova retta normale corretta. Nota in effetti che questa notazione è in accordo con la notazione per i sistemi lineari dove ogni riga della matrice dei coefficienti rappresenta un iperpiano (un vettore covariante) e le incognite sono invece i componenti di un vettore controvariante.
Vediamo ora un esempio chiarificatore, si spera
. Supponi [tex]A = \left(\begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)[/tex] e quindi [tex]A^{-1} = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]. Abbiamo allora che [tex]\boldsymbol{f_1} = 2 \, \boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}[/tex] e [tex]\boldsymbol{f_2} = - \boldsymbol{e_1}[/tex]. Le componenti si trasformeranno invece secondo la regola [tex]w^1 = v^2[/tex], [tex]w^2 = 2 \, v^2 - v^1[/tex]. Analogamente si avrà [tex]\tau_1 = 2 \, \sigma_1 + \sigma_2[/tex], [tex]\tau_2 = - \sigma_1[/tex], [tex]\boldsymbol{\chi^1} = \boldsymbol{\omega^2}[/tex] e [tex]\boldsymbol{\chi^2} = 2 \, \boldsymbol{\omega^2} - \boldsymbol{\omega^1}[/tex].
Supponiamo a questo punto di voler passare da [tex]\boldsymbol{e}[/tex] ad un'altra base rappresentata da [tex]\boldsymbol{f}[/tex]. La trasformazione lineare sarà allora rappresentata dall'equazione [tex]\boldsymbol{f} = \boldsymbol{e} \, A[/tex] (nota che A sta a destra perché [tex]\boldsymbol{e}[/tex] è una matrice riga...). Avremo allora che [tex]\boldsymbol{v} = \boldsymbol{f} \, w = \boldsymbol{e} \, A \, w[/tex]. Ecco allora che le componenti vengono moltiplicate a sinistra per la matrice [tex]A[/tex] diversamente dalle basi e si passerà dalla base nuova a quella vecchia. Per passare da quella vecchia a quella nuova dovremo invertire la matrice ottenendo: [tex]w = A^{-1} \, v[/tex]. Se ora consideriamo [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma , \boldsymbol{\omega} = \tau \, \boldsymbol{\chi}[/tex], avremo che [tex]\tau = \left< \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{f} \right> = \sigma \, (\boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{f}) = \sigma \, \boldsymbol{\omega} \, \boldsymbol{e} \, A = \sigma \, A[/tex]. Ecco allora che le componenti del vettore covariante si trasformano come le basi dello spazio. Le basi dello spazio duale si trasformeranno invece come le componenti dei vettori cotrovarianti: [tex]\boldsymbol{\sigma} = \sigma \, \boldsymbol{\omega} = \tau \, \boldsymbol{\chi} = \sigma \, A \, \boldsymbol{\chi}[/tex] da cui [tex]\boldsymbol{\omega} = A \, \boldsymbol{\chi}[/tex] e quindi [tex]\boldsymbol{\chi} = A^{-1} \, \boldsymbol{\omega}[/tex]. Dovrebbe essere allora chiaro che, siccome le matrici di trasformazione da vecchio a nuovo sono [tex]A[/tex] e [tex]A^{-1}[/tex], vettori controvarianti e covarianti vengono trasformati nello stesso modo se la matrice [tex]A[/tex] è ortogonale, ma in generale la trasformazione è diversa. Un modo per vedere bene la trasformazione è quella di interpretare i vettori covarianti come gli iperpiani dello spazio (piani nel caso di [tex]\mathbb R^3[/tex] e rette nel caso di [tex]\mathbb R^2[/tex] dove le componenti del vettore sono le componenti del vettore normale). Applicando una certa trasformazione ai punti del piano si dovrà trasformare la normale con l'inversa della trasposta per ottenere la nuova retta normale corretta. Nota in effetti che questa notazione è in accordo con la notazione per i sistemi lineari dove ogni riga della matrice dei coefficienti rappresenta un iperpiano (un vettore covariante) e le incognite sono invece i componenti di un vettore controvariante.
Vediamo ora un esempio chiarificatore, si spera
. Supponi [tex]A = \left(\begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)[/tex] e quindi [tex]A^{-1} = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right)[/tex]. Abbiamo allora che [tex]\boldsymbol{f_1} = 2 \, \boldsymbol{e_1} + \boldsymbol{e_2}[/tex] e [tex]\boldsymbol{f_2} = - \boldsymbol{e_1}[/tex]. Le componenti si trasformeranno invece secondo la regola [tex]w^1 = v^2[/tex], [tex]w^2 = 2 \, v^2 - v^1[/tex]. Analogamente si avrà [tex]\tau_1 = 2 \, \sigma_1 + \sigma_2[/tex], [tex]\tau_2 = - \sigma_1[/tex], [tex]\boldsymbol{\chi^1} = \boldsymbol{\omega^2}[/tex] e [tex]\boldsymbol{\chi^2} = 2 \, \boldsymbol{\omega^2} - \boldsymbol{\omega^1}[/tex].
aspetta un istante, quindi SE la matrice di trasformazione che scelgo è ortogonale, vettori covarianti e controvarianti si trasformeranno nella stessa identica maniera perché [tex]A^T=A^{-1}[/tex]? quindi mettendomi a fare i conti con una matrice di rotazione mi sono fregato da solo...
p.s.: nell'ultima riga volevi dire [tex]\tau_1=2\sigma_1+\sigma_2,\ \tau_2=-\sigma_1[/tex]?
p.s.: nell'ultima riga volevi dire [tex]\tau_1=2\sigma_1+\sigma_2,\ \tau_2=-\sigma_1[/tex]?
La risposta è sì a tutte e due le domande.. Ho corretto l'errore nel mio post precedente.
innanzitutto grazie mille, ho capito una cosa che mi perseguitava da tempo.
ma rimane una cosa. Supponiamo che io, fissata la base di partenza ed i vettori da trasformare, voglia cambiare base. O fisso la matrice A di trasformazione, o fisso la nuova base. Domande:
1) la matrice A posso spararla a casaccio? non saprei, forse la nuova base potrebbe non essere fatta di vettori ortogonali.
2) se fissassi la nuova base come insieme di vettori ortogonali alla fin fine la matrice A sarebbe una matrice di rotazione. mi ricondurrei al caso che mi ha fregato sempre e comunque. la base, dunque, deve essere fatta per forza di vettori ortogonali? a me verrebbe di dire si, per definizione..ma allora covarianza e controvarianza per vettori nel piano non sembra avere senso..
aggiunta: ma siamo sicuri che il prodotto scalare [tex]<\sigma,v>[/tex] è invariante rispetto ad ogni trasformazione?
ma rimane una cosa. Supponiamo che io, fissata la base di partenza ed i vettori da trasformare, voglia cambiare base. O fisso la matrice A di trasformazione, o fisso la nuova base. Domande:
1) la matrice A posso spararla a casaccio? non saprei, forse la nuova base potrebbe non essere fatta di vettori ortogonali.
2) se fissassi la nuova base come insieme di vettori ortogonali alla fin fine la matrice A sarebbe una matrice di rotazione. mi ricondurrei al caso che mi ha fregato sempre e comunque. la base, dunque, deve essere fatta per forza di vettori ortogonali? a me verrebbe di dire si, per definizione..ma allora covarianza e controvarianza per vettori nel piano non sembra avere senso..
aggiunta: ma siamo sicuri che il prodotto scalare [tex]<\sigma,v>[/tex] è invariante rispetto ad ogni trasformazione?
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