Costruzioni con riga e compasso fisso
Ciao, amici! Hilbert dimostra nei Fondamenti della Geometria come si possano risolvere con riga e compasso ad apertura fissa i seguenti problemi:
1. congiungere due punti con una retta e trovare l'intersezione tra due rette non parallele;
2. trasportare un dato segmento su una data retta da una data parte da un dato punto;
3. trasportare un dato angolo su una data retta da una data parte da un dato punto;
4. tracciare per un dato punto $A\notin a$ la parallela ad una retta data $a$;
5. tracciare una perpendicolare che passi per un dato punto ad una detta.
Trovo poi scritto un problema geometrico [...] risolubile mediante tracciamento di rette e trasporto di segmenti, cioè con riga e compasso ad apertura fissa come se le due cose fossero equivalenti.
Data quindi una circonferenza di raggio $r$ ed una retta o due circonferenze di raggio uguale $r$, è quindi possibile trovarne i punti di intersezione solo a partire dalle costruzioni 1-5?
Ovviamente dal centro della circonferenza possiamo, per la 5, tracciare una perpendicolare ad una retta data ed ugualmente possiamo tracciare la perpendicolare nel punto medio (che si può trovare solo trasportando segmenti e angoli, come dimostra il teorema 26 dell'edizione dei Grundlagen curata da Bernays, p. 79 di questa ed.) del segmento che ha per estremi i centri di due circonferenze uguali, ma poi non saprei che costruzioni applicare...
Grazie di cuore a chi mi tiri un salvagente!!!
1. congiungere due punti con una retta e trovare l'intersezione tra due rette non parallele;
2. trasportare un dato segmento su una data retta da una data parte da un dato punto;
3. trasportare un dato angolo su una data retta da una data parte da un dato punto;
4. tracciare per un dato punto $A\notin a$ la parallela ad una retta data $a$;
5. tracciare una perpendicolare che passi per un dato punto ad una detta.
Trovo poi scritto un problema geometrico [...] risolubile mediante tracciamento di rette e trasporto di segmenti, cioè con riga e compasso ad apertura fissa come se le due cose fossero equivalenti.
Data quindi una circonferenza di raggio $r$ ed una retta o due circonferenze di raggio uguale $r$, è quindi possibile trovarne i punti di intersezione solo a partire dalle costruzioni 1-5?
Ovviamente dal centro della circonferenza possiamo, per la 5, tracciare una perpendicolare ad una retta data ed ugualmente possiamo tracciare la perpendicolare nel punto medio (che si può trovare solo trasportando segmenti e angoli, come dimostra il teorema 26 dell'edizione dei Grundlagen curata da Bernays, p. 79 di questa ed.) del segmento che ha per estremi i centri di due circonferenze uguali, ma poi non saprei che costruzioni applicare...
Grazie di cuore a chi mi tiri un salvagente!!!
Risposte
non posso aiutarti se non riesco a capire il senso di questa frase:
<>
che cosa significa? della circonferenza, oltre al raggio che dovrebbe corrispondere all'apertura del compasso, hai i punti tutti ma non il centro, hai il centro ma non i punti della circonferenza, hai entrambe le cose? se hai tutto di due circonferenze, che cosa significa trovarne i punti d'intersezione? e della retta che cosa conosci?
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che cosa significa? della circonferenza, oltre al raggio che dovrebbe corrispondere all'apertura del compasso, hai i punti tutti ma non il centro, hai il centro ma non i punti della circonferenza, hai entrambe le cose? se hai tutto di due circonferenze, che cosa significa trovarne i punti d'intersezione? e della retta che cosa conosci?
$\infty$ grazie per la risposta!!! Già, devo formalizzare meglio ciò che intendo.
Nel primo caso intendo dire: conoscendo un punto $C$, il segmento $r$ e (tutti i punti di) una retta $a$, trovare quei punti $P$ della retta tali che \(PC\equiv r\).
Nel secondo: conoscendo i punti $C_1$ e $C_2$ e il segmento $r$ trovare quei punti $P$ del piano tali che \(PC_1\equiv r \equiv PC_2\).
Mi chiedo se tali punti $P$, che si possono naturalmente trovare con riga e compasso ad apertura $r$ fissa, si possano trovare con le costruzioni 1-5, che appartengono all'insieme delle costruzioni eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa. Se così fosse direi che si avrebbe l'equivalenza tra le costruzioni 1-5 e tutte le costruzioni con riga e compasso ad apertura fissa.
Nel primo caso intendo dire: conoscendo un punto $C$, il segmento $r$ e (tutti i punti di) una retta $a$, trovare quei punti $P$ della retta tali che \(PC\equiv r\).
Nel secondo: conoscendo i punti $C_1$ e $C_2$ e il segmento $r$ trovare quei punti $P$ del piano tali che \(PC_1\equiv r \equiv PC_2\).
Mi chiedo se tali punti $P$, che si possono naturalmente trovare con riga e compasso ad apertura $r$ fissa, si possano trovare con le costruzioni 1-5, che appartengono all'insieme delle costruzioni eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa. Se così fosse direi che si avrebbe l'equivalenza tra le costruzioni 1-5 e tutte le costruzioni con riga e compasso ad apertura fissa.
il fatto di sentir parlare di compasso e di apertura fissa, per come i due casi sono stati specificati, la "realizzazione" mi sembra fin troppo banale, solo che non mi sembra che i primi cinque problemi siano più semplici e tali da essere assunti come una sorta di "assiomi" per verificare gli altri due. credo che anche il riportare un segmento o il tracciare una perpendicolare prevedano l'uso di riga e compasso, e qui, in entrambi i casi, se punti il compasso in C, C1, C2, con apertura fissa r, tracciando qualche arco di circonferenza arriveresti comunque al risultato.
non so se il problema sia molto più complesso, oppure ti stai imponendo un percorso a ostacoli.
ciao.
non so se il problema sia molto più complesso, oppure ti stai imponendo un percorso a ostacoli.
ciao.
Hilbert dimostra, con una dimostrazione dovuta almeno anche a Kürschák, che le costruzioni 1-5 sono eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa, cosa che come fai notare non è semplice o banale. Quindi {costruzioni eseguibili tramite le 1-5} $\subset$ {costruzioni eseguibili con riga e compasso fisso}.
In seguito nel testo mi sembra che si usi un linguaggio che implichi che ogni costruzione eseguibile con riga e compasso ad apertura fissa sia eseguibile a partire dalle costruzioni 1-5. Mi chiedo quindi se questa mia impressione sia giusta e se valga anche {costruzioni eseguibili con riga e compasso fisso} $\subset$ {costruzioni eseguibili tramite le 1-5} e quindi i due tipi di costruzioni coincidano.
Ora, le costruzioni eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa sono ovviamente una composizione di quelle eseguibili con la sola riga e inoltre delle due seguenti: conoscendo un punto $C$, il segmento $r$ e (tutti i punti di) una retta $a$, trovare quei punti $P$ della retta tali che \(PC\equiv r\); conoscendo i punti $C_1$ e $C_2$ e il segmento $r$ trovare quei punti $P$ del piano tali che \(PC_1\equiv r \equiv PC_2\). Mi chiedo dunque se queste due costruzioni siano realizzabili solo con le operazioni 1-5.
L'unica cosa che riesco a vedere è -direi proprio- che esse equivalgono a costruire un triangolo rettangolo di cui si conosca un cateto (il segmento di perpendicolare che "misura la distanza" di $C$ da $a$ nel primo caso e il punto medio del segmento $C_1 C_2$ nel secondo caso) e la "lunghezza" $r$, la classe di congruenza, dell'ipotenusa.
Grazie di cuore per la pazienza...
In seguito nel testo mi sembra che si usi un linguaggio che implichi che ogni costruzione eseguibile con riga e compasso ad apertura fissa sia eseguibile a partire dalle costruzioni 1-5. Mi chiedo quindi se questa mia impressione sia giusta e se valga anche {costruzioni eseguibili con riga e compasso fisso} $\subset$ {costruzioni eseguibili tramite le 1-5} e quindi i due tipi di costruzioni coincidano.
Ora, le costruzioni eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa sono ovviamente una composizione di quelle eseguibili con la sola riga e inoltre delle due seguenti: conoscendo un punto $C$, il segmento $r$ e (tutti i punti di) una retta $a$, trovare quei punti $P$ della retta tali che \(PC\equiv r\); conoscendo i punti $C_1$ e $C_2$ e il segmento $r$ trovare quei punti $P$ del piano tali che \(PC_1\equiv r \equiv PC_2\). Mi chiedo dunque se queste due costruzioni siano realizzabili solo con le operazioni 1-5.
L'unica cosa che riesco a vedere è -direi proprio- che esse equivalgono a costruire un triangolo rettangolo di cui si conosca un cateto (il segmento di perpendicolare che "misura la distanza" di $C$ da $a$ nel primo caso e il punto medio del segmento $C_1 C_2$ nel secondo caso) e la "lunghezza" $r$, la classe di congruenza, dell'ipotenusa.
Grazie di cuore per la pazienza...
nel primo caso, puoi tracciare la perpendicolare alla retta passante per il centro della circonferenza, ma questo ti potrà servire per confrontare la distanza punto-retta e il raggio; il problema però ti chiede di trovare i punti d'intersezione, non di verificare che esistono. il secondo problema mi ricorda la costruzione dell'asse di un segmento: se anche riuscissi a trovare il punto medio di $C_1 C_2$ senza l'uso del compasso (anche perché probabilmente dovresti variarne l'apertura) per poi tracciare la perpendicolare passante per il punto medio, sarebbe solo per ricondurre il problema 2 al problema 1, mentre dubito che i punti d'intersezione si possano trovare senza ricorrere al compasso con apertura $r$.
questo per dire che la mia impressione sia un'altra: "ti mostro casi di base, anche piuttosto complessi, e ti invito a fare altre costruzioni per esercizio, sempre usando solo riga e compasso ad apertura fissa".
quello che usi in ogni costruzione non è il risultato finale delle 1-5, ma le singole operazioni usate nei vari percorsi, per questo non credo nell'inclusione che proponi. può darsi benissimo che mi sbaglio, in tal caso scusami se ti porto fuori strada. però potresti tentare di contestualizzare ed analizzare le due richieste per fugare eventuali dubbi interpretativi.
ciao!
questo per dire che la mia impressione sia un'altra: "ti mostro casi di base, anche piuttosto complessi, e ti invito a fare altre costruzioni per esercizio, sempre usando solo riga e compasso ad apertura fissa".
quello che usi in ogni costruzione non è il risultato finale delle 1-5, ma le singole operazioni usate nei vari percorsi, per questo non credo nell'inclusione che proponi. può darsi benissimo che mi sbaglio, in tal caso scusami se ti porto fuori strada. però potresti tentare di contestualizzare ed analizzare le due richieste per fugare eventuali dubbi interpretativi.
ciao!
Mi sto convincendo anch'io che non tutte le costruzioni eseguibili con riga e compasso ad apertura fissa siano riconducibili alle 1-5. L'avevo supposto sulla base di espressioni come un problema geometrico [...] risolubile mediante tracciamento di rette e trasporto di segmenti, cioè con riga e compasso ad apertura fissa, interpretando quel cioè come un indice di equivalenza, ma probabilmente non è così...
$\infty$ grazie ancora!!!
$\infty$ grazie ancora!!!
prego!
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