Costruzione di un endomorfismo a partire dall'autovalore

[ludwigZero]

Salve ho questo problema:

Determinare un endomorfismo avente autovalore 5 e tale che $
f(e_1)=2e_3$
e
$f(e_1+e_2)= 2e_1+e_2$

?

Dalla seconda condizione posso avere una relazione per $f(e_2)$ , ma come imposto la relazione per l'autovalore 5 non avendo un autovettore corrispondente su cui lavorare?

qualche imput? xD

[Sk_Anonymous]

Hai già due condizioni che sono :
1) \(\displaystyle f \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} \)
2) \(\displaystyle f \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \)
La terza condizione la trovi sfruttando l'autovalore 5, ponendo ad esempio:
3) \(\displaystyle f \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix} \)
Poichè i vettori \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) sono lin.ind. puoi individuare l'endomorfismo con i soliti procedimenti. Naturalmente, se si cambia la (3) scegliendo un'altra antimmagine per l'autovalore 5, cambierà anche l'endomorfismo che non é quindi unico.

[ludwigZero]

ah ecco!
quindi non è unico....
se invece ci veniva dato un autovettore associato, lo sarebbe stato...