Costruzione applicazione lineare
Ciao ragazzi, sono una matricola del forum e del corso di studi in matematica.
Non mi dilungo in complimenti, pur ringraziandovi per il lavoro che fate. Il forum è utilissimo:-D Ma ora bando alle ciance, passiamo al sodo.
Recentemente mi sono imbattuto in un esercizio d'esame di algebra lineare che chiedeva di :
"dati i sottospazi U, V di R^3 di equazioni U=(x-y=0), V=(x+y+z=0), usando una base opportuna, costruire un'applicazione lineare F: R^3 -----> R^3 tale che F^2=Id. e F(U)=V, e verificarne la diagonalizzabilità. Fornirne una matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R^3".
Son rimasto sull'esercizio 2 ore all'esame senza cavarci nulla, per poi (credo) risolverlo a casa in dieci minuti(tipico).
Il problema è che la mia soluzione, se corretta, mi sembra fondata su un approccio "euristico", e quindi probabilmente non utilizzabile in caso di esercizi simili. Io ho fatto così:
1- ho trovato delle basi dei sottospazi. In particolare, una base di U è v1=(1,1,0), v2=(0,0,1). Una base di V è w1=(-1, 1, 0) w2=(-1,0,1).
2- Siccome l'applicazione è tale che F composto F = identità e F deve mandare U in V, ho costruito "a occhio" questa applicazione: F(x,y,z) =(-x-z, y, z).
Si vede che F(v1)=w1 ed F(v2)=w2. Se ne scriviamo direttamente la matrice rispetto alla base canonica, otteniamo che F composto F=identità. Sembra funzionare, ma non sono convinto e anche se funzionasse, non ho alcuna strategia per risolvere un esercizio del genere.
Voi come l'avreste risolto?Esiste qualcosa come una strategia più rigorosa per affrontare questo esercizio?
Vi ringrazio in anticipo.
Non mi dilungo in complimenti, pur ringraziandovi per il lavoro che fate. Il forum è utilissimo:-D Ma ora bando alle ciance, passiamo al sodo.
Recentemente mi sono imbattuto in un esercizio d'esame di algebra lineare che chiedeva di :
"dati i sottospazi U, V di R^3 di equazioni U=(x-y=0), V=(x+y+z=0), usando una base opportuna, costruire un'applicazione lineare F: R^3 -----> R^3 tale che F^2=Id. e F(U)=V, e verificarne la diagonalizzabilità. Fornirne una matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R^3".
Son rimasto sull'esercizio 2 ore all'esame senza cavarci nulla, per poi (credo) risolverlo a casa in dieci minuti(tipico).
Il problema è che la mia soluzione, se corretta, mi sembra fondata su un approccio "euristico", e quindi probabilmente non utilizzabile in caso di esercizi simili. Io ho fatto così:
1- ho trovato delle basi dei sottospazi. In particolare, una base di U è v1=(1,1,0), v2=(0,0,1). Una base di V è w1=(-1, 1, 0) w2=(-1,0,1).
2- Siccome l'applicazione è tale che F composto F = identità e F deve mandare U in V, ho costruito "a occhio" questa applicazione: F(x,y,z) =(-x-z, y, z).
Si vede che F(v1)=w1 ed F(v2)=w2. Se ne scriviamo direttamente la matrice rispetto alla base canonica, otteniamo che F composto F=identità. Sembra funzionare, ma non sono convinto e anche se funzionasse, non ho alcuna strategia per risolvere un esercizio del genere.
Voi come l'avreste risolto?Esiste qualcosa come una strategia più rigorosa per affrontare questo esercizio?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Se non riesci a costruirla ad occhio puoi semplicemente andare a imporre le condizioni e vedere cosa se ne ricava.
\[ M_F = \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) \;. \]
Per $i =1,2$ hai due condizioni:
\[ \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) v_i = w_i \;.\]
Da queste dovresti riuscire a toglierti di mezzo un po' dei parametri $a_{n m}$ e riuscire a scrivere le entrate di $M_F$ in termini di cominazioni lineari degli $a_{n m}$. Dall'identità $(M_F)^2 = 1$ dovresti riuscire a determinare tutte le entrate della matrice cercata. Io non ho fatto i conti, ma sarei curioso di sapere se se ne esce facilmente. Se hai voglia puoi farli tu e postarli.
\[ M_F = \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) \;. \]
Per $i =1,2$ hai due condizioni:
\[ \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) v_i = w_i \;.\]
Da queste dovresti riuscire a toglierti di mezzo un po' dei parametri $a_{n m}$ e riuscire a scrivere le entrate di $M_F$ in termini di cominazioni lineari degli $a_{n m}$. Dall'identità $(M_F)^2 = 1$ dovresti riuscire a determinare tutte le entrate della matrice cercata. Io non ho fatto i conti, ma sarei curioso di sapere se se ne esce facilmente. Se hai voglia puoi farli tu e postarli.
Yess i conti sono:"Seneca":
\[ M_F = \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) \;. \]
Per $ i =1,2 $ hai due condizioni:
\[ \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{matrix} \right ) v_i = w_i \;. \]
Per v1=(1, 1, 0) mandato in w1=(-1, 1, 0)
a11+a12=-1
a21+a22=1
a31+a31=0
Per v2=(0, 0, 1) mandato in w2=(-1, 0, 1)
a13=-1
a23=0
a33=1
Sostituendo nella matrice si ottiene:
$ ( ( -1-a12 , a12 , -1 ),( 1-a22 , a22 , 0 ),( -a32 , a32 , 1 ) ) $
Imponendo M^2=Id. , mandiamo il vettore F(v1)=w1 in v1.
Otteniamo:
1+a12+a12=1
a22-1+a22=1
a32+a32=0
Risolvendo il sistema e sostituendo i valori nella matrice si ottiene:
M:
$ ( ( -1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Ultima domanda: come mai, imponendo la condizione che la matrice mandi F(v1) in v1, ottieniamo una matrice che manda ogni immagine di un vettore in se stesso?Poteva capitare che pur mandando F(v1) in v1, non mandasse F(v2) in v2 per esempio?
In generale può capitare che le condizioni imposte risultino incompatibili e in tal caso si conclude che non esiste una $F$ che soddisfa quanto richiesto.
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