Costruire una topologia data una base
Salve a tutti,
stavo studiando l'argomento del titolo, e come saprete occorre dimostrare che siano verificate le 3 condizioni per la topologia. Vi chiedo di guardare come ho dimostrato una di esse.
Si parte da una famiglia $B$ di sottoinsiemi che soddisfa le due proprietà delle basi.
Dunque definiamo la topologia $theta$ dicendo che $A in theta$ se esiste $B_0 sube$ $B$ tale che $A=uuB_0$.
Una delle proprietà degli aperti dice che se ho due aperti, la loro intersezione appartiene ancora alla topologia.
Procedo:
Considerando gli aperti $A_1$ e $A_2$ e la loro intersezione non vuota, contenente un generico elemento $x$, quindi
$x \in A_1 nn A_2$, posso dire che, poiché aperti, $A_1$ e $A_2$ devono contenere rispettivamente dei sottoinsiemi della base $B_1^x$ e $B_2^x$ in modo che
$x\inB_1^x\subeA_1$ e
$x\inB_2^x\subeA_2$
da cui discende
$x\inB_1^x\nnB_2^x\subeA_1\nnA_2$
ma una delle proprietà della base mi assicura che esiste $B_3$ t.c
$B_3\sube B_1^x \nnB_2^x$
quindi in definitiva
$x\inB_3\subeA_1\nnA_2$
che è la tesi, ovvero ogni $x$ dell'intersezione sta in sottoinsieme della base, che a suo volta sta nell'intersezione.
Scusate l'eventuale (credo) banalità, ma sono agli inizi e sto digerendo a poco a poco questa materia che, per l'alta astrazione e l'assoluta novità, mi sta tenendo impegnato.
Sono graditi commenti anche extra la dimostrazione.
Grazie, un buon week-end a tutti!
stavo studiando l'argomento del titolo, e come saprete occorre dimostrare che siano verificate le 3 condizioni per la topologia. Vi chiedo di guardare come ho dimostrato una di esse.
Si parte da una famiglia $B$ di sottoinsiemi che soddisfa le due proprietà delle basi.
Dunque definiamo la topologia $theta$ dicendo che $A in theta$ se esiste $B_0 sube$ $B$ tale che $A=uuB_0$.
Una delle proprietà degli aperti dice che se ho due aperti, la loro intersezione appartiene ancora alla topologia.
Procedo:
Considerando gli aperti $A_1$ e $A_2$ e la loro intersezione non vuota, contenente un generico elemento $x$, quindi
$x \in A_1 nn A_2$, posso dire che, poiché aperti, $A_1$ e $A_2$ devono contenere rispettivamente dei sottoinsiemi della base $B_1^x$ e $B_2^x$ in modo che
$x\inB_1^x\subeA_1$ e
$x\inB_2^x\subeA_2$
da cui discende
$x\inB_1^x\nnB_2^x\subeA_1\nnA_2$
ma una delle proprietà della base mi assicura che esiste $B_3$ t.c
$B_3\sube B_1^x \nnB_2^x$
quindi in definitiva
$x\inB_3\subeA_1\nnA_2$
che è la tesi, ovvero ogni $x$ dell'intersezione sta in sottoinsieme della base, che a suo volta sta nell'intersezione.
Scusate l'eventuale (credo) banalità, ma sono agli inizi e sto digerendo a poco a poco questa materia che, per l'alta astrazione e l'assoluta novità, mi sta tenendo impegnato.
Sono graditi commenti anche extra la dimostrazione.
Grazie, un buon week-end a tutti!
Risposte
Va benissimo come hai fatto tu, magari era più svelto questo approccio:
$A_1$ e $A_2$ siano unione di elementi di $B$, diciamo $A_1=\bigcup_alpha B_alpha, A_2=\bigcup_betaB_beta$ per opportune famiglie ${B_alpha}, {B_beta} \sub B$. (Sottointendo che $alpha, beta$ variano in opportuni insiemi di indici che non serve rendere espliciti). Allora l'intersezione $A_1nnA_2$ è (per la proprietà distributiva unione-intersezione * ) $[uu_alpha B_alpha] nn [uu_betaB_beta]=\bigcup_{alpha, beta}(B_alphannB_beta)$. Quindi abbiamo finito: per ipotesi le intersezioni $(B_alphannB_beta)$ non vuote sono a loro volta unione di famiglie di elementi di $B$. In conclusione $A_1nnA_2$ o è vuota oppure è unione di elementi di $B$.
L'unica differenza con la tua dimostrazione è che questa fa intervenire la proprietà *, anziché "mettere le mani" nei singoli punti dell'intersezione.
$A_1$ e $A_2$ siano unione di elementi di $B$, diciamo $A_1=\bigcup_alpha B_alpha, A_2=\bigcup_betaB_beta$ per opportune famiglie ${B_alpha}, {B_beta} \sub B$. (Sottointendo che $alpha, beta$ variano in opportuni insiemi di indici che non serve rendere espliciti). Allora l'intersezione $A_1nnA_2$ è (per la proprietà distributiva unione-intersezione * ) $[uu_alpha B_alpha] nn [uu_betaB_beta]=\bigcup_{alpha, beta}(B_alphannB_beta)$. Quindi abbiamo finito: per ipotesi le intersezioni $(B_alphannB_beta)$ non vuote sono a loro volta unione di famiglie di elementi di $B$. In conclusione $A_1nnA_2$ o è vuota oppure è unione di elementi di $B$.
L'unica differenza con la tua dimostrazione è che questa fa intervenire la proprietà *, anziché "mettere le mani" nei singoli punti dell'intersezione.
Sì, ho afferrato. 
Se dovessero sopraggiungere altri dubbi, posto nuovamente, ma mi sembra esaurito il dubbio.
Grazie per la disponibilità,
ciao!
Se dovessero sopraggiungere altri dubbi, posto nuovamente, ma mi sembra esaurito il dubbio.
Grazie per la disponibilità,
ciao!
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