Costruire un prodotto scalare non degenere

[Zkeggia]

Salve, ho un bel problema riguardo la costruzione di un prodotto scalare, nel senso che in pratica non so come fare, sebbene conosca le proprietà delle funzioni bilineari. Ad esempio se ho

$V = M(2x2, RR)$ ed il sottospazio di V $W$ formato dalle matrici diagonali e voglio costruire su $V$ un prodotto scalare di rango 2 tale che la dimensione del nucleo su W sia 3. Da dove parto? potete dirmi quale è il modo "standard" di procedere? (ad esercitazione non lo abbiamo ancora ma ho il compitino tra pochi giorni) Vi ringrazio.

[dissonance]

Se non mi ricordo male si parla di "prodotto scalare" quando abbiamo uno spazio vettoriale reale $V$ e una forma bilineare simmetrica definita su $V$ e definita positiva. Tu però parli di dimensione 3 per il nucleo quindi presumo ti riferisco a forme bilineari solo semidefinite positive. Poi penso che la dimensione corretta del nucleo sia 2, giusto?

[Zkeggia]

eh no invece pare sia proprio qui. Questo esercizio l'ho preso da un compito di geometria dell'anno scorso, il link è questo, è il secondo esercizio:
http://www.dm.unipi.it/~manfredi/didatt ... -12-07.pdf

[dissonance]

Certo. Mi suonava strano perché io ho sempre pensato al prodotto scalare come ad una forma definita positiva, quindi priva di vettori isotropi. Invece in questo caso, è chiaro che necessariamente qualche vettore di $W$ deve essere isotropo.

[Zkeggia]

ah va bene, ma come dovrei procedere?

[dissonance]

Provo ad abbozzare in due parole: prendiamo una base di $V$, ad esempio $E_{1,1}, ..., E_{2,2}$ dove $E_{i, j}=[delta_{i, h}delta_{k, j}]$ (matrice con 1 nel posto i, j e 0 altrove). Allora $E_{1, 1}, E_{2, 2}$ è una base di W. Ora mettiamoci d'accordo sulla definizione di prodotto scalare: presumo che tu intenda una forma bilineare, simmetrica, semidefinita positiva. Questo genere di forme bilineari è rappresentato, tra le altre, dalle matrici della forma $[[1, 0, ..., 0], [0, 1, ..., 0], [,,ddots, ], [,,,0]]$ con tanti 1 sulla diagonale principale quanto il rango. (Tra l'altro il teorema di Sylvester ci dice che sono tutte così, a meno di cambiamenti di base). Cosa deve verificare il nostro prodotto scalare? (Chiamo $A=[a_{i, j}]_{i, j=1, 2}$ la matrice ad esso associata, che adesso definiremo).
1) deve avere rango 2 e quindi due 1 sulla diagonale principale;
2) almeno un vettore di W deve essere isotropo: per fissare le idee diciamo che questo sia $E_{1, 1}$. E così abbiamo stabilito che $a_{1, 1}=0$.
3) i vettori di W non possono essere tutti isotropi, altrimenti $W\subW^\bot$; questo forza il nostro prodotto scalare a valere 1 su $E_{2, 2}$. E quindi $a_{4, 4}=1$.
Il restante 1 mi pare che lo possiamo mettere dove ci pare, per esempio lo mettiamo in $a_{2, 2}$. Quindi $A=[[0,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,1]]$. dovrebbe andare bene.

[Zkeggia]

In pratica si procede come nella costruzione di funzioni lineari, si prende una base e si vanno a guardare le condizioni ricercate. Ma questa matrice non ha un nucleo di dimensione 2?

[dissonance]

e questo non ti convince? In realtà la dimensione del nucleo non può essere che 2, se vuoi che il rango sia 2. Ma questo non contraddice il fatto che $W^bot$ abbia dimensione 3. Se non mi sbaglio la dimensione del nucleo di una forma bilineare è la dimensione dello spazio $V^bot$ dei vettori ortogonali a tutti i vettori di $V$: questo spazio è certamente più piccolo di $W^bot$ che contiene i vettori ortogonali ai vettori di $W$, una condizione meno restrittiva.

[Zkeggia]

ma come risalgo da questa matrice A alla condizione $W^bot$ ricercata? non ho capito quel passaggio

[dissonance]

Non lo hai capito perché mi sono spiegato male. Infatti, ho saltato una condizione che io avevo assunto implicitamente. Mi spiego meglio:
abbiamo preso la base $E_{1, 1}, E_{1, 2}, E_{2, 1}, E_{2, 2}$. Per maggiore chiarezza la rinomino: $b_1, b_2, b_3, b_4$, così è più chiara l'azione della matrice $A$: se il prodotto scalare che stiamo costruendo è $< , >$, allora $a_{i, j}=$. Ora il nostro sottospazio $W$ non è altro che lo spazio generato da $b_1, b_4$. Il problema vuole solo che $W^bot$ abbia dimensione 3, non specifica quali vettori devono essere ortogonali a $W$. Quindi per stare più comodi, fissiamo una prima condizione:
1) $b_2, b_3$ siano ortogonali a $W$.
La 1) si esplicita imponendo che i prodotti $, , , $ siano nulli.

In realtà possiamo aggiungere un'altra comodità, e cioè supporre che la base $b_1, ...b_4$ sia ortonormale rispetto a $< , >$. Se ci pensi non ce lo vieta nessuno. Ecco che allora la nostra matrice $A$ ha preso questa forma:
$[[*,0,0,0],[0,*,0,0],[0,0,*,0],[0,0,0,*]]$;
dove gli asterischi andranno sostituiti da 0 o 1. Adesso esplicitiamo la richiesta che il rango di $<,>$ sia 2. Ora io non so che definizione usi tu per il rango di una forma bilineare simmetrica, ma saremo d'accordo che in concreto tutto si riduce al rango delle matrici associate, ovvero al rango di A. Quindi:
2) sulla diagonale principale di A devono comparire due 1 e due 0.
Ora piazziamo questi 1. (Ovvero, determiniamo $$). Abbiamo detto che vogliamo la dimensione di $W^bot$ essere 3: al punto 1 avevamo già trovato due vettori lin. indip. che cadranno in questo spazio. Ne dobbiamo aggiungere esattamente un altro: io direi che $b_1$ va bene.
Quindi dobbiamo imporre che:
3) $ =0, =0$. (La seconda condizione l'avevamo già imposta chiedendo che $b$ fosse una base ortonormale, ma la riscrivo per chiarezza).
Ora dobbiamo stabilire quanto farà $$, ma la scelta è obbligata: non può fare 0 perché abbiamo esaurito i vettori ortogonali a $W$. Quindi:
4) $ =1$.
Infine restano da definire $, $. La 2) ci dice che dovremo avere uno 0 e un 1. E qui mi pare possiamo scegliere entrambe le possibilità.

Spero di essere stato più chiaro adesso! (Naturalmente non escludere errori miei, che sono sempre in agguato.)

[Zkeggia]

sì perfetto ora ho capito, grazie mille per la pazienza!