Costruire un endomorfismo ed $Im f$

[ludwigZero]

Ciao a tutti, vorrei sapere se il ragionamento va bene.

testo:
Si consideri l'endomorfismo $f$ di $RR^3$ :
$f : (x_1 , x_2 , x_3 ) -> (2 x_3 , - x_3 , 0 ) $

si determini $Im f $


la matrice associata è:

$((0,0,2),(0,0,-1),(0,0,0))$

il determinante è nullo, quindi il rango è minore di $3$. Il rango con la regola degli orlati è $1$
la $dim Im f = 1$ e $Im f = (2,-1,0)$

ma non capisco perchè chieda che sia:
$Im f \subset W $

dove $W = {(1,1,0), (0,1,0), (-1,0,0)}$

c'è qualcosa che non va...

qualche suggerimento?

[Frink1]

Non vedo dove sia il problema: $W$ è sottospazio di dimensione $2$ ed è facile verificare che contiene $Im(f)$...

[ludwigZero]

Per trovare che fosse di dimensione 2, ho creato il pivot in questo modo:

$a=(1,1,0)$
$b=(0,1,0)$
$c=(-1,0,0)$

$a=(1,1,0)$
$a+c =(0,1,0)$
$b=(0,1,0)$

infine:
$a=(1,1,0)$
$d=a+c =(0,1,0)$
$d-b = (0,0,0)$

quindi $W = L {( 1,1,0),(0,1,0)}$
(che è una base) dim 2

ma non vedo che contiene il vettore $(2,-1,0)$ . . .

[Frink1]

Il vettore $(2,-1,0)$ puoi scriverlo come $2*(1,1,0)-3*(0,1,0)$, che ne dici?

[ludwigZero]

ah, quindi $(2,-1,0)$ posso vederlo come uguale ad un'opportuna combinazione lineare, e dunque è incluso in W

[Frink1]

Esiste una combinazione lineare dei vettori di base di $W$ che esprime il vettore desiderato, questo significa che è incluso nel sottospazio. Penso l'esercizio chiedesse una verifica, visto che non devi nemmeno imporre delle condizioni per far sì che questo avvenga...

[ludwigZero]

si esatto, mi chiede di verificare che $Im f \subset W$