Costruire omeomorfismi riguardanti iperpiani proiettivi e loro complementari
Vorrei provare a costruire un omeomorfismo fra un iperpiano proiettivo $H$ di $P^{n}(K)$ e $P^{n-1}(K)$ e fra $P^{n} (K)\setminus H$ e $K^{n}$, per vedere se ho ben capito il ragionamento. Considero il caso $K= \mathbb{R}$.
Siano $[x_0,x_1, ..., x_n]$ gli elementi dello spazio proiettivo. Considero $H$ come l'iperpiano di equazione $x_0=0$. Allora gli elementi di $H$ sono tutti e soli quelli della forma $[0,x_1, ..., x_n]$. Considero tale iperpiano come la proiezione $\pi_1$ del sottospazio di elementi $(0,x_1, ..., x_n$ di $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$. Considero adesso la proiezione $\pi_2 : (0, x_1, ..., x_n) \to [x_1, ...,x_n] \in P^{n-1}(\mathbb{R})$. Entrambe sono identificazioni, e quindi posso trovare applicazioni continue e biunivoche dall'iperpiano in $P^{n-1}(\mathbb{R})$ e viceversa, perciò ho un omeomorfismo.
Ora, so che l'omeomorfismo è $[0,x_1, ..., x_n] \to [x_1, ..., x_n]$, è abbastanza intuitivo in effetti. La domanda è: premesso che quello scritto sopra sia giusto (e non ne sono sicuro), c'è un modo più "semplice" di dimostrare questa ovvietà?
Vediamo ora che il complementare di quell'iperpiano è omeomorfo a $\mathbb{R}^n$. Anche qui l'omeomorfismo sarà evidentemente dato da $(x_1, ..., x_n) \to [1,x_1, ..., x_n]$, ma quella che segue è la dimostrazione più "semplice" che so dare (e non credo nemmeno che sia molto formale...). Visto che mi torna male usare le identificazioni e la propietà fondamentale delle identificazioni come ho fatto sopra, provo una strada più diretta. Il proiettivo reale si può ottenere anche quozientando $S^n$ per la relazione di omotetia, con $S^n=\{(x_0, ..., x_n)| x_{0} ^{2} + ... + x_{n} ^{2} =1 \} $ Togliere quell'iperpiano corrisponde a togliere gli elementi nell'intersezione di $S^n$ e dell'iperpiano reale $x_0 =0$. Quello che mi rimane è praticamente una sfera divisa a metà (si visualizza bene solo nel caso di $S^2$). Identificando tutti i punti sulla circonferenza che ho tolto, ottengo un nuovo $S^n$ senza un punto (non sono certo di poter fare questa identificazione, e anche se posso non ho capito perchè
). Concludo per proiezione stereografica.
Un altro modo sarebbe potuto essere esibire gli omeomorfismi e i loro inversi, ma in quel caso avrei dovuto mostrare la continuità a mano, e non è proprio una bella cosa da fare quando hai topologie quoziente... In definitiva, mi sto complicando la vita o veramente non c'è via più semplice?
Siano $[x_0,x_1, ..., x_n]$ gli elementi dello spazio proiettivo. Considero $H$ come l'iperpiano di equazione $x_0=0$. Allora gli elementi di $H$ sono tutti e soli quelli della forma $[0,x_1, ..., x_n]$. Considero tale iperpiano come la proiezione $\pi_1$ del sottospazio di elementi $(0,x_1, ..., x_n$ di $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$. Considero adesso la proiezione $\pi_2 : (0, x_1, ..., x_n) \to [x_1, ...,x_n] \in P^{n-1}(\mathbb{R})$. Entrambe sono identificazioni, e quindi posso trovare applicazioni continue e biunivoche dall'iperpiano in $P^{n-1}(\mathbb{R})$ e viceversa, perciò ho un omeomorfismo.
Ora, so che l'omeomorfismo è $[0,x_1, ..., x_n] \to [x_1, ..., x_n]$, è abbastanza intuitivo in effetti. La domanda è: premesso che quello scritto sopra sia giusto (e non ne sono sicuro), c'è un modo più "semplice" di dimostrare questa ovvietà?
Vediamo ora che il complementare di quell'iperpiano è omeomorfo a $\mathbb{R}^n$. Anche qui l'omeomorfismo sarà evidentemente dato da $(x_1, ..., x_n) \to [1,x_1, ..., x_n]$, ma quella che segue è la dimostrazione più "semplice" che so dare (e non credo nemmeno che sia molto formale...). Visto che mi torna male usare le identificazioni e la propietà fondamentale delle identificazioni come ho fatto sopra, provo una strada più diretta. Il proiettivo reale si può ottenere anche quozientando $S^n$ per la relazione di omotetia, con $S^n=\{(x_0, ..., x_n)| x_{0} ^{2} + ... + x_{n} ^{2} =1 \} $ Togliere quell'iperpiano corrisponde a togliere gli elementi nell'intersezione di $S^n$ e dell'iperpiano reale $x_0 =0$. Quello che mi rimane è praticamente una sfera divisa a metà (si visualizza bene solo nel caso di $S^2$). Identificando tutti i punti sulla circonferenza che ho tolto, ottengo un nuovo $S^n$ senza un punto (non sono certo di poter fare questa identificazione, e anche se posso non ho capito perchè
). Concludo per proiezione stereografica.Un altro modo sarebbe potuto essere esibire gli omeomorfismi e i loro inversi, ma in quel caso avrei dovuto mostrare la continuità a mano, e non è proprio una bella cosa da fare quando hai topologie quoziente... In definitiva, mi sto complicando la vita o veramente non c'è via più semplice?
Risposte
Non mi sembra tu abbia fatto qualcosa di molto complicato, si fa esattamente così. Probabilmente a rendere meno elegante la trattazione è il fatto che questo risultato, scritto in questo modo, dipende dalla particolare topologia di $\mathbb R$. E invece, i due risultati che citi (\(P^n \cong P^{n-1} \cup D^n\) e \(P^n\setminus P^{n-1} \cong K^n\)) sono validi per ogni $K$.
@killing_buddha Non ho capito come mai posso fare l'identificazione alla fine, quella dove identifico tutti i punti della circonferenza che ho tolto in modo tale da avere un $S^n$ meno un punto. Perchè posso farlo, formalmente?
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